Zadanko Qwiatuszek: Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu x²+y²−4x−10y+20=0 względem prostej o równaniu x−2y−2=0

lenul: x² + y² −4x−10y+20=0 (x−2)² −4 + (y−5)² −25 +20=0 (x−2)² + (y−5)² = 9 S=(2;5) r= 3 k: x − 2y−2 =0 d(S;k) =r podstawisz do wzoru i masz rozwiazanie

Gustlik: Można prosciej przekształcić równanie okręgu, wzorami skróconego mnożenia to jazda z Warszawy do Gdyni przez Zakopane, że zacytuję tu słowa Basi. x²+y²−4x−10y+20=0

	A		−4
a=−		=−		=2
	2		2

	B		−10
b=−		=−		=5
	2		2

r=√a²+b²−C=√2²+5²−20=√4+25−20=√9=3 S₁=(2, 5), r=3 (x−2)²+(y−5)²=9 Teraz przekształcam równanie prostej do postaci kierunkowej: x−2y−2=0 −2y=−x+2 /:(−2)

	1
y=		x−1
	2

Znajduję prostą prostopadłą do danej przechodzącą przez S₁=(2, 5) y=−2x+b 5=−2*2+b 9=b b=9 y=−2x+9 Wyznaczam punkt O przecięcia obu prostych − jest on środkiem odcinka S₁S₂:

	1
{ y=		x−1
	2

{ y=−2x+9

	1
−2x+9=		x−1 /*2
	2

−4x+18=x−2 −5x=−20 /:(−5) x=4 y=−2*4+9 y=−8+9=1 O=(4, 1) Liczę współrzędne punktu S₂=(x, y) bedącego obrazem S₁ w tej symetrii:

	2+x		5+y
O=(		,		)
	2		2

2+x
	=4 /*2
2

2+x=8 x=6

5+y
	=1 /*2
2

5+y=2 y=−3 S₂=(6, −3) Zatem równanie okręgu symetrycznego wygląda tak: (x−6)²+(y+3)²=9