trygonometria mm4: oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania sin⁴x + cos⁴x=5/8 należacych do przedzialu <-π/ ; π> rozwiazuje w ten sposób: sin⁴x + cos⁴x=5/8 (sin²x + cos²x)(sin²x - cos²x)=5/8 sin²x -cos²x=5/8 cos²x=1 - sin²x (z jedynki trygonometrycznej) a wiec: sin²x - 1 + sin²x = 5/8 2sin^x = 13/8 sin²x=13/16 sinx=√13/4 lub sinx= - √13/4 co dalej? prosze o pomoc

Bogdan: Uwaga. a⁴ + b⁴ nie rozkłada się w zbiorze liczb rzeczywistych na (a² - b²)(a² + b²) natomiast a⁴ - b⁴ tak, czyli a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²)

mm4: to jak rozwiazać to rownanie?

Bogdan: sin⁴x + cos⁴x = sin⁴x + 2sin²cos² + cos⁴x - 2sin²cos² = = (sin²x + cos²x)² - (1/2) * 4sin²cos² = 1 - (1/2)sin²2x Mamy więc 1 - (1/2)sin²2x = 5/8 stąd 3/8 - (1/2)sin²2x = 0 mnożymy obustronnie przez (-2) sin²2x - 3/4 = 0 (sin2x - √3/2)(sin2x + √3/2) = 0 sin2x = √3/2 lub sin2x = -√3/2 sin2x = sin(π/3) lub sin2x = -sin(π/3) → sin2x = sin(-π/3) 2x = π/3 + k*2π lub 2x = 2π/3 + k*2π lub sin2x = -π/3 + k*2π lub sin2x = 4π/3 + k * 2π k € C x = π/6 + k*π lub x = π/3 + k*π lub x = -π/6 + k*π lub x = 2π/3 = k*π Dobieramy k całkowite takie, aby rozwiązania należały do podanego przedziału