Zadanie dla Godzia - n-ta pochodna f(x) Gustlik: Mam ciekawe zadanko dla Godzia: Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej, że dla funkcji f(x)=xⁿ f⁽ⁿ⁾(x)=n!, gdzie f⁽ⁿ⁾(x) oznacza n−tą pochodną. Pozdrawiam

Godzio: Zaraz pomyślę

Gustlik: No, czekam, zadanie naprawdę bardzo fajne, ja je wykombinowałem juz dość dawno, jeszcze na studiach i rozwiazałem. Pozdrawiam

Godzio: Trochę bez sensu to udowadniać z indukcji , a tak w ogóle to nie mam pojęcia jak to zapisać poprawnie n = 1 f(x) = x ⇒ f'(x) = 1 f¹(x) = 1! = 1 n = k f(x) = x^k ⇒ f^k(x) = k!

Gustlik: No to postaw teraz tezę: f(x)=x^k+1 → f^(k+1)(x)=(k+1)! Możesz zapisać krócej: Założenie: (x^k)^(k)=k! Teza: (x^k+1)^(k+1)=(k+1)! Godzio, do dzieła, Ty dasz radę ! Skorzystaj ze wzoru na pochodną xⁿ, na pewno Ci pójdzie.

Godzio: No to tak zrobiłem tylko zapomniałem że Teza (x^{k + 1})^{k + 1} Zaraz pomyśle

Godzio: f^k(x) = k! f(x) = x^{k + 1} → f^{k + 1}(x) = (k + 1)! (x^{k + 1})^{(k + 1)} = ((k + 1)x^k)^k = (k + 1) * (x^k)^k = (k + 1) * k! = (k + 1)!

Gustlik: No super Pozdrawiam Wiedziałem, że dasz radę. Ty w tym roku zdajesz maturę z matmy, tak, jeżeli mogę spytać?

Godzio: Tak

Gustlik: Chłopie, zdasz na luziku, czego Ci życzę, myślę ze zdajesz rozszerzenie, bo podstawy to dla Ciebie jak przedszkole. Widzę, że pochodne znasz bardzo dobrze i TAK TRZYMAĆ, bo są one na kazdym kierunku studiów, na którym jest matematyka. Miałeś je moze w szkole, czy sam je rozpracowałeś?

Godzio: Niestety sam musiałem się z nimi uporać, podobnie z całkami, ale za to miałem z górki na Studium Talent organizowanym przez PWr, i teraz 5 marca będzie z tego egzamin

Gustlik: No i dobrze, bo będziesz miał podstawy analizy matematycznej. Za moich szkolnych czasów (lata 80−te) niemal cała analiza matematyczna włącznie z całkami, równaniami różniczkowymi oraz szeregami była w liceum, miałem też liczby zespolone, szkoda, ze to wszystko wycofali. Przynajmniej na rozszerzeniu te działy powinny zostać, bo potem może być problem na studiach. Z doświadczenia wiem, że niektórzy nauczyciele pokazują granice ciągów i funkcji oraz pochodne w LO, ale nie wszędzie tak jest. Dodam,że też kończyłem PWr.

Gustlik: No i życzę powodzenia na egzaminie

Godzio: Dzięki