zbadaj monotoność ciągu pattttt: zbadaj monotoność ciągu potrzebuje momocy z rozwiązaniem 1) bn = n −−−−−−−− 2n+1 2) cn = n2 + 3n

Zielona Gałązka: Zad. 1. Należy w miejsce "n" do licznika i do mianownika podstawić (n+1) i obliczyć działania. Otrzymasz inny ułamek, "następnik" w tym ciągu. Potem należy odjąć ten otrzymany ułamek minus ten podany powyżej. Będzie wtedy trzeba sprowadzić te dwa ułamki do wspólnego mianownika. Zajmujesz się następnie tylko licznikami. Po wszystkich wyliczeniach w liczniku i redukcji wyrazów podobnych patrzysz, jaką liczbę masz w liczniku, jeśli dodatnią − to ciąg jest rosnący, a gdy ujemną, to ciąg jest malejący.

pattttt: Wyszlo mi bn+1= n+1 −−−−−−−−− 2n +3 bn+1 −bn = n+1 + n −−−−−−−−−− −−−−−−−−− 2n+3 2n+1 niewiem czy to jest dobrze

pattttt: czy ktos wie jak to rozwiazac

pattttt: ?

Jack: doprowadź do wspólnego mianownika oba te ułamki.

pattttt: Kto mi to pomoze rozwiazac

Gustlik:

	n
1) bn =
	2n+1

	x
Funkcja y=		z dziedziną N+
	2x+1

	x		1		1   −   2		1   −   2		1
y=		=		+		=		+
	2x+1		2		2x+1		1   2{x+ }   2		2

Współczynnik a ujemny, a więc funkcja rosnąca przedziałami. Asymptoty hiperboli:

	1
x=p=−		, a więc dziedzina ciągu N+ obejmuje "prawą" gałąź hiperboli, więc ciąg an
	2

rosnący.

1
2

−−−−−−−−−−−−−−− x : (2x+1)

	1
−x−
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
−
	2

2) c_n = n2 + 3n y=x²+3x Liczę współrzędne wierzchołka paraboli:

	−b		−3		3
p=		=		=−
	2a		2*1		2

Ramiona do góry, bo a>0 zatem dziedzina ciągu N₊ obejmuje częśc prawego ramienia paraboli, gdzie f(x) rosnąca, więc ciąg c_n rosnący.

Basia: Gustlik z Warszawy do Gdyni przez Zakopane ? Można, czemu nie.

	n
an =
	2n+1

	n+1		n+1
an+1 =		=
	2(n+1)+1		2n+3

	n+1		n
an+1−an =		−		=
	2n+3		2n+1

(n+1)(2n+1) − n(2n+3)
	=
(2n+1)(2n+3)

2n2+n+2n+1 − 2n2−3n
	=
(2n+1)(2n+3)

1
	>0 dla każdego n∊N
(2n+1)(2n+3)

stąd: {a_n} jest ciągiem rosnącym proste i oczywiste

Gustlik: Ja ten sposób znam, ale chciałem pokazać inny poprzez zbadanie funkcji, bo NIE JEST ON POKAZYWANY W SZKOŁACH. Może akurat w przypadku funkcji homograficznej nie jest on najprostszym sposobem, ale jeżeli ciag jest dany wzorem funkcji liniowej (czyli ciąg arytmetyczny), kwadratowej czy wykładniczej (ciąg geometryczny) to metoda "na funkcję" będzie prostsza, a w dodatku uczeń będzie miał możliwość sprawdzenia, czy dobrze rozwiązał zadanie. Zauważ ,ze drugi przykład był dany wzorem funkcji kwadratowej i mój sposób poprzez zbadanie tej funkcji był szybszy. Pozdrawiam

Gustlik: Powiem jeszcze tak: pokazałem ten sposób "na funkcję" jednej z moich uczennic (dodam, że w zadaniu były funkcje łatwe do zbadania − liniowa, kwadratowa, wykładnicza i prosta funkcja homograficzna) i wiecie, jaka była odpowiedź nauczycielki? Że ciąg to nie funkcja. Omal nie spadłem z krzesła jak się o tym dowiedziałem. Boże, jak oni teraz uczą tej matmy? Albo pani nauczycielka stworzyła nową teorię ciagów liczbowych. Nie wiem, czy mam się śmiać czy płakać.