Udowodnić, że suma wysokości trójkąta jest co najmniej 9 razy większa od promien tintin: Wykazać, że suma wysokości trójkąta jest co najmniej 9 razy większa od długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Doszedłem do tej postaci i nie wiem co dalej: h1+h2+h3=xr (h1,2,3 − wysokosci, x liczba rzeczywista, r− dlugosc promienia) P=ah/2 h1=2P/a h2=2P/b h3=2P/c P=pr , gdzie p to polowa obwodu trojkata (p=(a+b+c)/2 2pr/a +2pr/b + 2pr/c = xr / : r 2p/a+2p/b+2p/c = x podstawiamy za p: wychodzi nam: 3+ (b+c)/a + (a+c)/b + (a+b)/c = x I jak teraz udowodnic ze x jest wiekszy rowny 9 ?

bart: a mi to tam nie pasuje

tintin: W jakim sensie? Sprawdziłem to na najprostszym trójkącie i wszystko się zgadza jak na razie

Bogdan: P − pole trójkąta.

	x		y
Skorzystamy z twierdzenia: jeżeli x, y > 0, to		+		≥ 2.
	y		x

	a + b + c
P = r *
	2

	ah1		2P
P =		⇒ h1 =		,
	2		a

	bh2		2P
P =		⇒ h2 =		,
	2		b

	ch3		2P
P =		⇒ h3 =		,
	2		c

2P

2P

2P

1

1

1

h1 + h2 + h3 =

+

+

= 2P*(

+

+

) =

a

b

c

a

b

c

	a + b + c		1		1		1
= 2* r *		*(		+		+		) =
	2		a		b		c

a

b

a

c

b

c

= r * (1 + 1 + 1 +

+

+

+

+

+

) =

b

a

c

a

c

b

a

b

a

c

b

c

= r * (3 + (

+

) + (

+

) + (

+

)) ≥

b

a

c

a

c

b

≥ r * (3 + 2 + 2 + 2) = 9r co należało wykazać.