ciąg geometryczny M: Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa 21 oraz suma ich odwrotności jest równa ⁷₁₂ (siedem dwunastych jakby było nieczytelne).

M: proszę o pomoc

M: wie ktoś jak to rozwiązać

M: ?

Trivial: (1) a + aq + aq² = 21 / :a

	21
1 + q + q2 =
	a

	1		1		1		7
(2)		+		+		=		/ * aq2
	a		aq		aq2		12

	7aq2
q2 + q + 1 =
	12

Łączymy równania (1) i (2).

21		7aq2
	=		/* 12a
a		12

12*21 = 7a²q² /:7 (aq)² = 36 Ale przecież aq to drugi wyraz ciągu! a₂ = 6 lub a₂ = −6 Wracamy do równania (1). a + aq + aq² = 21 Najpierw rozważymy a₂ = 6:

6		a2
	+ 6 + 6q = 21 // a1 =
q		q

6 + 6q + 6q² = 21q / :3 2q² − 5q + 2 = 0 Δ = 25 − 16 = 9 √Δ = 3

	5−3		1
q1 =		=
	4		2

q₂ = 2 Analogicznie dla a₂ = −6:

−6
	− 6 − 6q = 21
q

−6 − 6q − 6q² = 21q 2q² + 9q + 2 = 0 Δ = 81 − 16 = 65 √Δ = √65

	−9 − √65
q3 =
	4

	−9 + √65
q4 =
	4

Pozostało wyznaczyć a₁ a₃ dla każdego q. Powodzenia.

a: Wyrazy ciągu są dodatnie więc a₂ = −6 nie spełnia założenia z treści zadania.

Trivial: Aha, zapomniałem o tym fakcie.

Eta: Podaję inny sposób a,b,c −−− tworzą ciag geom. => b²= a*c mamy układ trzech równań (1) b²= a*c (2) a+b+c= 21

	1		1		1		7
(3)		+		+		=
	a		b		c		12

	bc+ac+ab		7
z (3)		=		.............podstawiająac za a*c= b2
	abc		12

	bc+b2+ab		7
		=		.......... upraszczamy lewą stronę przez: b≠0
	b3		12

	c+b+a		7
		=		............... za a+b+c = 21
	b2		12

	21		7
		=
	b2		12

to: b²= 36 => b= 6 v b= −6 −−− odrzucamy (1) a*c= 36 (2) a+c= 15 to: a= 3 v a= 12 i c= 12 v c= 3 odp: 3, 6, 12 lub 12,6, 3