zbadaj monotoność ciągu patrycja :(((: zbadaj monotoność ciągu 1) a_n = 5−3n 2) b_n = n −−−−−−−− 2n+1 −−−−−−− − kreska ułamkowa 3) c_n = n² + 3n

toja: a_n = 5−3n a_n+1 = 5−3(n+1) Załóżmy że: a_n< a_{n +1} więc 5−3n < 5−3(n+1) || −5 −3n < −3(n+1) ||*(−1) 3n > 3(n+1) mnożąc przez liczbę ujemną zmieniamy zwrot nierówności 3n > 3n+3 || −3n 0 > 3 ?! to nie jest prawdą zatem musi być: a_n > a_{n +1} a to oznacza że ciąg jest malejący. reszta zadań podobnie

Bogdan: Chcąc określić monotoniczność ciągu (a_n), badamy znak różnicy: a_n+1 − a_n. a_n = 5 − 3n, a_n+1 = 5 − 3(n + 1) = 5 − 3n − 3 = 2 − 3n a_n+1 − a_n = 2 − 3n − 5 + 3n = −3 < 0, więc ciąg jest malejący.

patrycja :(((: dzieki

Gustlik: Proponuję rzadko pokazywany przez nauczycieli sposób, a łatwo przyswajalny przez uczniów − poprzez badanie własności odpowiednich funkcji: 1) a_n = 5−3n czyli a_n−3n+5 − jest to funkcja liniowa y=−3x+5, dziedzina D=N₊, a=−3=r<0, czyli f(x)↓, a więc a_n↓ Mamy więc ciąg arytmetyczny o różnicy r=−3.

	n		x
2) bn =		jest to funkcja homograficzna y=		, dziedzina D=N+,
	2n+1		2x+1

	1
	2

−−−−−−−−−−−−− x : (2x+1)

	1
−x−
	2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	1
−
	2

	1		1   2
Postać kanoniczna y=		−
	2		2x−1

	1   2		1		1
y=−		+		a=−		<0, zatem f(x)↑ przedziałami,
	2x−1		2		2

	1
asymptota pionowa x=		, zatem dziedzina ciągu obejmuje prawą część hiperboli, czyli ciąg
	2

b_n↑ 3) c_n = n² + 3n to funkcja kwadratowa y=x²+3x, dziedzina D=N₊ Liczę współrzędną p wierzchołka paraboli, bo tam funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność:

	3
p=−b2a=−		− jest na ujemnej półosi OX
	2

a=1>0, zatem parabola ma ramiona w górę. Dziedzina ciągu N₊ znajdyuje sie więc na prawym ramieniu paraboli, gdzie f(x)↑, zatem ciąg c_n↑