geometria analityczna czekolada: dane sa zbiory A{(x,y):x ∊R i y∊R i x+y−2≤0}, B={(x,y):x∊R i y∊R i x²+y²−2mx+2y+m²−1=0}. wyznacz te wartosci parametru m ∊R,dla których zbior A czesc wspolna B jest jednopunktowy. prosze o rozwiazanie z wytlumaczeniem

Basia: aby to był zbiór jednoelementowy okrąg B musi być styczny do prostej y = −x+2 będą dwa rozwiązania; jedno prawdopodobnie trzeba odrzucić x²+y²−2mx+2y+m²−1=0 y = 2−x x²+(2−x)²−2mx+2(2−x)+m²−1=0 x²+4−4x+x²−2mx+4−2x+m²−1=0 2x²+(−6−2m)x+m²+3=0 2x²−2(m+3)+m²+3=0 Δ= 4(m+3)²−4*2*(m²+3) Δ=4(m²+6m+9)−8m²−24 Δ=4m²+24m+36−8m²−24 Δ=−4m²+24m+12 −4m²+24m+12=0 /: (−4) m²−6m−3=0 Δ_m = 36−4*1*(−3) = 36+12=48 √Δ_m = √48 = √16*3=4√3

	6−4√3
m1=		= 3−2√3
	2

	6+4√3
m2=		= 3+2√3
	2

okrąg może mieć równanie: x²+y²−2(3−2√3)x+2y+m²−1 i wtedy jego środek S(3−2√3,−1) ten punkt należy do półpłaszczyzny x+y−2≤0, bo 3−2√3−1−2 = −2√3 ≤0 czyli część wspólna to cały okrąg czyli odrzucamy lub x²+y²−2(3+2√3)+2y+m²−1 i wtedy jego środek S(3+2√3,−1) ten punkt nie należy do półpłaszczyzny x+y−2≤0, bo 3+2√3−1−2 = 2√3>0 czyli warunki zadania są spełnione odp: m = 3+2√3 czyli część wspólna to cały okrag

Basia: drugi sposób (chyba prostszy) x²+y²−2mx+2y+m²−1=0 to jest okrąg −2a = −2m a=m −2b = 2 b= −1 S(m, −1) c = m²−1 r=√m²+1−(m²−1) = √2 odległość S od prostej x+y−2=0 musi = r

|1*m+1*(−1)−2|
	= √2
√12+12

|m−1−2| = 2 |m−3|=2 m−3=2 lub m−3= −2 m = 5 lub m = 1 dla m=1 S(1, −1) 1−1−2<0 ten punkt należy do półpłaszczyzny czyli odrzucamy dla m=5 S(5,−1) 5−1−1=3>0 spełnia warunki zadania odp. m=5 musiałam się w pierwszym sposobie pomylić w rachunkach, ale nie mogę znaleźć błędu

Basia: a już znalazłam; tam będzie 2x²−2(m+3)x+m²+7=0 Δ=4(m+3)²−4*2(m²+7)=0 Δ=4m²+24m+36−8m²−56 Δ= −4m²+24m −20 −4m²+24m − 20 = 0 /: (−4) m²−6m+5=0 Δ_m = 36−20=16

	6−4
m1 =		=1
	2

	6+4
m2 =		=5
	2

dalej rozumujemy jak w sposobie (2)