Ile liczb x ∊ <0; 2π> spełnia równanie sin2010x=cos1005x ? ancymon: Ile liczb x ∊ <0; 2π> spełnia równanie sin2010x=cos1005x ?

ancymon: up

ancymon: pomocy

Bogdan:

	π
sin2010x = sin(		− 1005x)
	2

	π		π
2010x =		− 1005x + k*2π lub 2010x = π − (		− 1005x) + k*2π
	2		2

k∊C

	π		π
3015x =		+ k*2π lub 1005x =		+ k*2π
	2		2

	π		4π		π		4π
x =		+ k*		lub x =		+ k*
	6030		6030		2010		2010

	4k + 1		4k + 1
x =		π lub x =		π
	6030		2010

	4k + 1		4k + 1
0 ≤		π ≤ 2π lub 0 ≤		π ≤ 2π
	6030		2010

	4k + 1		4k + 1
0 ≤		≤ 2 lub 0 ≤		≤ 2
	6030		2010

0 ≤ 4k + 1 ≤ 12060 lub 0 ≤ 4k + 1 ≤ 4020 0 ≤ 4k ≤ 12059 lub 0 ≤ 4k ≤ 4019

	3		3
0 ≤ k ≤ 3014		lub 0 ≤ k ≤ 1004
	4		4

Spróbuj teraz sam odpowiedzieć na pytanie postawione w zadaniu. Podaj swoją odpowiedź.

ancymon: 4020 ? Bardzo dziękuję za pomoc

Bogdan: Tak

dd: DLACZEGO ?

Daria: No własnie − dlaczego? Skąd wiadomo, że to będzie tych 4020 liczb?

Artur_z_miasta_Neptuna: a nie prościej: sin2010x = sin(2*1005x) = 2sin1005xcos1005x i mamy: 2sin1005xcos1005x = cos1005x czyli: 1) cos1005x = 0

	π
1005x =		+ kπ
	2

	π+2kπ		2k+1
x =		= π
	2010		2010

ile jest jakich x z przypadku (1)?

	2k+1
x= π		∊ <0;2π>
	2010

czyli: 2k+1 ≥0 oraz 2k+1 ≤ 2*2010 zauważamy, że 2k+1 <−−− kolejne liczby nieparzyste ... ile jest liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od 4020 ? oczywiście 2010.

	1
2) sin1005x =
	2

analogicznie

Artur_z_miasta_Neptuna: jak to skąd to wiadomo ile jest liczb CAŁKOWITYCH które są ≥0 i jednocześnie ≤3014,75 a ile liczb całkowtych które są ≥0 i jednocześnie ≤1004,75

Daria: No tak <pac> Dzięki Arturze!