zadania z trójkatem aggga: W trójkącie ABC dane sa: |BC|=a, |AC|=b. Suma długosci wysokosci trójkata opuszczonych na boki o dugosciach a i b jest równa długosci trzeciej wysokosci trójkąta. a) wykaz, ze |AB| = c = ab/a+b b) oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC, wiedzac ze c=1/2 a

Bogdan: h_a + h_b= h_c Pole trójkąta P = ah_a / 2, P = bh_b / 2, P = ch_c / 2 1. ah_a = ch_c stąd h_a = ch_c / a 2. bh_b = ch_c stąd h_b = ch_c / b h_a + h_b = (ch_c / a) + (ch_c / b) h_c = (ch_c / a) + (ch_c / b) h_c = ch_c (1/a + 1/b) dzielimy obustronnie przez h_c 1 = c(1/a + 1/b) c = 1 / (1/a + 1/b) stąd c = ab / (a + b) co należało wykazać --------------------- Jeśli c = a/2 i c = ab / (a + b) to a/2 = ab / (a + b), dzielimy obustronnie przez a i otrzymujemy 1/2 = b / (a + b) stąd 2b = a + b więc b = a, czyli trójkąt jest równoramienny. Ramiona tego trójkąta mają długość a, podstawa ma długość a/2. Najmniejszy kąt leży naprzeciw najmniejszego boku, czyli naprzeciw podstawy. Jest to kąt BCA, oznaczamy miarę tego kąta γ. Korzystając z wzoru kosinusów otrzymujemy: (a/2)² = a² + a² - 2a²cosγ, dzielimy obustronie przez a² 1/4 = 2 - 2cosγ stąd cosγ = 7/8