Zadanie Godzio: Obliczyć całkę górną i całkę dolną:

	1
−		dla x wymiernego
	3

f(x) = 1 dla x niewymiernego

Jeruzalem: Godzio w liceum a już całki liczy

Trivial: Maniak. <:

Godzio: Do Studium Talent się przygotowuje

Jeruzalem: też bym tak chciał maniaczyć ale jak skończe kiebłase to następna będzie matura

Godzio: Będę wdzięczny jak ktoś mi to zrobi, bo nie mogę w notatkach tego znaleźć Będę później jak coś

Jeruzalem: a fizyke też tak ogarniasz jak matę ?

Trivial: Mieliśmy coś podobnego na wykładzie kiedyś, całkowalność funkcji Dirichleta bodajże. Może potem przepiszę.

bart : kurde jezdzilem na studium i zapomnialem sie zapisac

b.: zobacz http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=17&wyd=10 rozdzial V, strona 166 (książki, nie pdfa); ogolnie jest to bardzo proste do policzenia, trzeba tylko definicję znac (sup na kazdym odcinku bedzie rowne 1, a inf −− (−1/3) )

b.: ...no i trzeba jeszcze wiedzieć, po jakim odcinku się calkuje − nie napisales (choc nie ma to wiekszego znaczenia dla rachunkow)

Godzio: Na odcinku <0,1> Z tego co zrozumiałem to powinno tak wyglądać:

	1		1		1		1
sn = −		* Δx −		* Δx1 − ... −		* Δxn = −		(Δx + Δx1 + ... + Δxn)
	3		3		3		3

	1
każdy taki odcinek ma długość, załóżmy		, skoro mamy n takich odcinków to:
	n

	1		1		1
−		*		* n → −		= s
	3		n		3

	1
Sn = 1 * Δx + 1 * Δx1 + ... + 1 * Δxn = Δx + Δx1 + ... + Δxn =		* n → 1 = S
	n

Całka górna: S = 1

	1
Całka dolna: s = −
	3

tylko nie wiem czy to o to chodzi

b.:

	1
trzecia linijka ok, ale w czwartej: ,,każdy taki odcinek ma długość, załóżmy		'' −− nie
	n

należy tak zakładać, liczymy sumę całkową dla dowolnego podziału. To tutaj łatwe: suma Δx + Δx1 + ... + Δxn = długości całego odcinka, czyli 1, stąd suma całkowa s = −1/3 (niezależnie od podziału!) więc całka dolna = −1/3 analogicznie dla górnej

Godzio: Ale skąd wiemy że ta suma to akurat 1 ?

b.: stąd, jak wyglądają podziały odcinka: jeśli dzielimy odcienk punktami 0 = a₀ < a₁ < a₂ < ... < a_n = 1, to kolejne odcinki podziałów to: [a₀, a₁], [a₁,a₂], ..., [a_n−1, a_n], a ich długości: Δx_k = a_k − a_k−1, jak się te długości pododaje, to poskraca się wszystko oprócz a_n−a₀ = 1−0 = 1

b.: ,,*to kolejne odcinki podziału'' chyba lepiej napisać

Godzio: Dzięki teraz rozumiem

Godzio: W takim razie upewnię się jeszcze czy to tak ma wyglądać: Obliczyć kożystając z definicji całki oznaczonej: ¹₀∫xdx

	1
Biorę długość odcinka
	n

1

1

1

n

1

1

sn = 0 *

+

*

+ ... +

*

=

(1 + 2 + ... + n) =

n

n

n

n

n

n2

	1		1 + n		1 + n		1
=		*		* n =		→
	n2		2		2n		2

1

1

2

1

n

1

Sn =

*

+

*

+ ... +

*

=

n

n

n

n

n

n

1		1		1 + n		1 + n		1
	(1 + 2 + ... + n) =		*		* n =		→
n2		n2		2		2n		2

	1
S = s ⇒ 10∫xdx =
	2

Godzio: Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej po obrocie − dookoła osi OX − trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji: y = √x * lnx, prostymi: x = 1 i x = e i osi OX

	1
czyli po prostu: 1e∫xlnxdx, a że ma być jeszcze OX to całość razy		?
	2

Godzio: jeszcze przed całością * π

	1
Czyli wygladało by to tak:		πe1∫xlnxdx
	2

Godzio: Podbijam

Godzio: To może teraz

Godzio: No to jeszcze raz

Godzio:

Trivial: Wzór na obrót wokół osi Ox to: V = π ∫_a^b f²(x)dx a = 1, b = e, f²(x) = xlnx Z tego co rozumiem, to tylko wykres jest ograniczony osią Ox (obracamy wokół Ox − czyli ta informacja i tak raczej za wiele nie zmienia). Czyli: V = π ∫₁^e xlnxdx

Trivial: *** Wzór na objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox to:

Godzio: Ale jest ograniczony też osią OX to nic nie zmienia ?

Trivial: Ale tylko wykres a nie bryła (z tego co rozumiem).

Godzio: Ano też prawda , a możesz potwierdzić to co jest nieco wyżej, z def. całki oznaczonej ?

Trivial: Nie, bo średnio wiem o co tam chodzi.

Trivial: Może to Cię zainteresuje: http://www.matematyka.pl/204767.htm

Godzio: To już widziałem ale nie wiele mi to wnosi

Trivial: Twoje zadanie jest analogiczne.

Godzio: No czyli z tego by wynikało że jest dobrze ... chyba

Godzio: No dobra znalazłem w pdf. analogiczne zadanie, jest dobrze zrobione tylko teraz pytanie czy o to chodziło "z definicji całki oznaczone"

Trivial: Tak, to jest liczenie z definicji.

b.: To jeszcze zależy, jaką masz definicję... jedną z różnic między matematyką szkolną i wyższą jest to, że nie ma ogólnej zgody co do tego, jakie są definicje. Np. można różnie definiować całkę Riemanna (choć akurat w tym przypadku będą to raczej definicje równoważne) − a to oznacza, że zadanie 'obliczyć z definicji całkę...' nie jest dobrze sformułowane, trzeba jeszcze definicję podać... Podaj definicję, to wtedy będzie można stwierdzić, czy jest dobrze (jeśli definicję miałeś tylko dla funkcji ciągłych, to zgaduję, że jest dobrze, jeśli bez założenia ciągłości, to zgaduję, że jest źle − ale to tylko zgadywanka...)

Godzio: Właściwie to ja nie wiem, rozwiązywałem zadania stąd: http://www.matematyka.pl/110322.htm bo chce się przygotować do tego testu

Godzio: http://chomikuj.pl/Bzyku/PSP/e-wyklad+-+studium+talent+-+matematyka+-+2005-2006,236336260.pdf Miałem to wszystko co tutaj jest, to pomoże w określeniu poprawności ? W spisie treści są definicje itd. Jeszcze się na tym zbytnio nie znam

b.: No to nie, definicja jest bardziej skomplikowana... przede wszystkim podziały powinny być dowolne, a nie na odcinki równej długości. Poza tym wg definicji z tego pdf−a powienieś wybierać z tych odcinków punkty pośrednie... (Ty liczyłeś bardziej całki dolną i górną, co też daje poprawny wynik i uzasadnienie, ale nie jest bezpośrednio ,,z definicji'').

b.: ta definicja jest lepiej napisana w książce Banacha, do której dałem Ci link nie ma niestety przykładowych całek policzonych bezpośrednio z definicji − ale szczerze mówiąc, ta definicja jest bardzo niewygodna i lepiej udowodnić najpierw, że funkcja jest całkowalna w sensie R. <=> całki dolne i górna są równe, a potem liczyć całki dolne i górne. Nie trzeba wtedy punktów pośrednich wybierać, więc jest odrobinę łatwiej.

b.: myślę, że lepsze będzie czytanie książki (np. tej Banacha) niż czyichś notatek z wykładu... a liczenie całek z definicji to trochę sztuczne zajęcie

Godzio: Hmm, w takim razie mogę mieć nadzieję że nie będzie podobnego zadania, muszę pouczyć się tych wszystkich definicji i twierdzeń, w każdym razie dzięki