Całki mati: Proszę o rozwiązanie takich całek:

	1
1.∫
	(cos23x)(2+tg23x)

	1
2.∫		dx
	2+sinx

	3x+2
3.∫
	√x2+3x+5

Godzio: A coś chociaż próbowałeś ? bo nie jest to zbyt skomplikowane

mati: Próbowałem ale coś mi nie wychodzi

Godzio:

	1
Umiesz cos2(3x) zamienić na postać		?
	1 + tg2(3x)

mati: tego zamieniania wogóle nie kumam

Godzio: to ogólnie:

	cos2		cos2α
cos2α =		=		= (dzielę licznik i mianownik przez cos2α)
	1		sin2α + cos2α

	1
=
	tg2α + 1

cos²3x * (2 + tg²3x) = 2cos²3x + sin²3x = 1 + cos²3x

	1
∫		dt
	1 + cos23x

tg3x = t 3x = arctgt

	1
3dx =		dt
	1 + t2

	1		1
cos23x =		=
	1 + tg2(3x)		1 + t2

1		1		t2 + 1
	=		=
1   1 +   1 + t2		t2 + 2   1 + t2		t2 + 2

Otrzymujemy więc postać:

1		t2 + 1		1		1		1
	∫		*		dt =		∫		dt =
3		t2 + 2		1 + t2		3		t2 + 2

	1		1
=		∫		dt = ...
	6		t   ( )2 + 1   √2

t
	= u
√2

1
	dt = du
√2

dt = √2du

	√2		1		√2
... =		∫		du =		} * arctgu + C =
	6		u2 + 1		6

√2		t		√2		tg3x
	* arctg		+ C =		* arctg		+ C
6		√2		6		√2

Sprawdź czy wszystko się zgadza, ale błędu chyba nie widzę

mati: Zgadza się

Godzio:

	1
∫		dx
	2 + sinx

	2sinx2cosx2
sinx = 2sinx2cosx2 =		=
	1

	2sinx2cosx2
=		dzielę przez sinx2cosx2
	sin2x2 + cos2x2

	2		2
=		=		mnożę licznik i mianownik
	tgx2 + ctgx2		1   tgx2 +   tgx2

	2tgx2
przez tgx2 =
	tg2x2 + 1

podstawienie

	2t
tgx2 = t ⇒ sinx =
	t2 + 1

x
	= arctgt
2

1		1
	dx =		dt
2		1 + t2

	2
dx =		dt
	1 + t2

	1		1		2
∫		dx = ∫		*		dt =
	2 + sinx		2t   2 +   t2 + 1		1 + t2

	t2 + 1		2		1
∫		*		dt = ∫		dt
	2t2 + 2t + 2		t2 + 1		t2 + t + 1

Dalej sobie poradzisz ?

mati: dalej tak Dzięki za wytłumaczenie

Godzio: Nad ostatnim muszę się chwilę zastanowić

Godzio: Chyba jednak nie wymyślę już tego,

mati: Moim zdaniem to są bardzo trudne przykłady:( Dzięki wielki za pomoc chociaż coś zrozumiałem