Emil: jak ktoś ma głowę do matmy, porszę o pomoc mam zadanie bardziej dla użytkowników do zrobenia niż do rozwiązania... potrzebuję kilku granic.. mianowicie jeśli ktoś może wytłumaczyć na krótkich przykładach jak liczyć granice gry: 1) granica jest pod pierwiastkiem n−tego stopnia np. ⁿ√n³+ⁿ₂ 2) ale i potrzebuję info na temat liczenia granic typu gdzie potęgą poza nawiasem jest ułamek (blabla)^n/3+1 3) no i rozpiskę kilku granic... między innymi dla x−>0 dla sinx, cosx, tgx, ctgx a i takich kilka rzeczy: *w co można przekształcić e^x (też w granicach w sumie to było) * jak się liczy, przekstałca lnx w granicach * ile wynosi arctg, arcsin, arccos, arcctg... bo nie wiem jak to liczyć, jak się w granicy pojawi

Emil: ok może nie wszystko jest ważne z tego co napisałem, ale potrzebuję odopowiedzi do punktu 1, 2 no i do drugiej gwiazdki

think: ⁿ√xⁿ = x ⁿ√y = 1 ad 2) zależy do czego dąży n, zależy od wartości blabla, bo jeśli n→∞ a blabla to liczba z przedziału (0,1) to taka granica jest równa 0 n → ∞ blabla > 1 lim → ∞ n→ −∞ blabla∊(0,1) lim → ∞ n → −∞ blabla > 1 lim → 0

Emil: a przekzstałcenia lnx?

Noah: think co do drugiego to zalezy co jest w nawaisie granica moze wyjsc liczba e

Emil: ok, mam kilka konkretnych przykładów, jak możesz, to pokaż jak to mniej więcej można robić, bo zazwyczaj te przykłady trafiają się na kolosie... kurde całki robię bez problemu, pochodne też, a granice mnie rozwalają a)lim (1+²_n)³ⁿ n−>∞

	2n+1
b)lim (		)3n+2
	2n+3

n−>∞ c)a_n=√n³+sinn d)a_n=ⁿ√3ⁿ+5ⁿ+7ⁿ z góry thx za pomoc

Trivial: a) lim_an→0 (1+a_n)^b_n = lim_an→0 e^{a_n * b_n} Wynik: e⁶.

	−2
b) Zapisz wyrażenie w podstawie jako 1 +		i znów ten wzór.
	2n+3

Wynik: e⁻³. c) Z trzech ciągów: √n³ − 1 ≤ √n³ + sinn ≤ √n³ + 1 Wynik: ∞. d) Znów z trzech ciągów: ⁿ√7ⁿ ≤ ⁿ√3ⁿ + 5ⁿ + 7ⁿ ≤ ⁿ√3*7ⁿ Wynik: 7. Jeśli coś niejasne to pisz.

Emil: hmm, te 3 ciągi mi się o uszy obiły, ale jak to liczyć potem?

Trivial: c) zarówno lewy jak i prawy ciąg dąży do ∞, czyli ten środkowy też musi. d) lewy ciąg dąży do 7, bo ⁿ√7ⁿ = 7 prawy ciąg ⁿ√3*7ⁿ = 7*ⁿ√3, a ⁿ√a gdzie a > 0 dąży do jedynki, czyli prawy dąży do 7. zatem środkowy też dąży do siódemki.

Emil: hmm, gdybym jeszcze tylko wiedział, czemu akurat tak rozpisałeś pierwiastki, że 7 w lewym, a 3*7 w prawym, to by było dobrze... ale przynajmniej wiem, jak to mniej więcej obliczyć

Emil: muszę to cofnąć na stronę główną... dlatego piszę bezsensowny komentarz

Emil: to jak to w końcu jest z tą zasadą 3 ciągów?

Trivial: Jest taka zasada dla prostych przykładów: Ten pierwiastek jest na pewno większy, niż tylko największy składnik (ⁿ√7ⁿ), ale że czynników jest 3, to jest na pewno mniejszy od ⁿ√3*7ⁿ. Czyli patrzymy na największy składnik.

Emil: aha, dał na poprawie coś takiego: ⁿ√2*5ⁿ+3ⁿ czyli jak to powinno wyglądać, bo nie wiedziałem jak to zrobić, a może jutro dać coś podobnego

Trivial: Największy składnik sumy pod pierwiastkiem: 5ⁿ. Lewy ciąg: ⁿ√5ⁿ, bo 5ⁿ jest na pewno mniejsze niż 2*5ⁿ + 3ⁿ. Prawy ciąg: ⁿ√3*5ⁿ, bo 3*5ⁿ jest na pewno większe niż 2*5ⁿ + 3ⁿ. Dalej już prosto.