Pomocy! Filip: Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Daniel: n−pierwszy wyraz n+1−drugi wyraz n+2−trzeci wyraz teraz dodajesz do siebie(korzystając również z wzoru na sześcian sumy): n³+(n+1)³+(n+2)³=n³+n³+3n²+3n+1+n³+6n²+12n+8=3n³+9n²+15n+9 − to jest liczba podzielna przez 9. Jeśli nie wierzysz podziel wynik przez x−9

kachamacha: przez n−9

Daniel: n−pierwsza liczba n+1−druga liczba n+2−trzecia liczba Korzystamy teraz z sumy tych liczb(oraz wzorów skróconego mnożenia− dokładniej wzoru na sześcian sumy) n³+(n+1)³+(n+2)³=n³+n³+3n²+3n+1+n³+6n²+12n+8=3n³+9n²+15n+9 − to jest liczba podzielna przez 9. Jeśli nie wierzysz podziel otrzymany wynik przez (n−9) oczywiście metodą dzielenia wielomianów

Daniel: Dzięki za zauważenie mojej pomyłki kachamacha! Już wkrótce matura, a tu takie błędy przy pisaniu najprostszych rzeczy.

kachamacha:

Bogdan: Nie wystarczy powiedzieć: "... liczba podzielna przez 9. Jeśli nie wierzysz podziel otrzymany wynik przez (n−9)". Trzeba uzasadnić, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9, Na razie brak takiego uzasadnienia.

Bogdan: Wprowadzamy oznaczenia: n − 1, n, n + 1, przy czym wszystkie te liczby są naturalne. (n − 1)³ + n³ + (n + 1)³ = n³ − 3n² + 3n − 1 + n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 = 3n³ + 6n = = 3n(n² + 2) = 3n(n² − 1 + 3) = 3n(n² − 1) + 9n = 3n(n − 1)(n + 1) + 9n. Liczba 3*n*(n − 1)*(n + 1) dzieli się przez 9, bo wśród trzech kolejnych liczb: n, (n − 1) i (n + 1) jest jest jedna podzielna przez 3. Liczba 9n dzieli się przez 9.

LOl: ≈≈≈⇒∊←≤δ⇔→⊂