rekurencja 123: Rozwiązać równanie rekurencyjne an+1 = −8an −16an−1 , n >0, warunki początkowe a0 = 5, a1 =17

M:

M:

Mariusz: Równanie niedbale zapisane a_n+1 = −8a_n−16a_n−1 , n > 0 a₀ = 5, a₁ = 17 a_n+2 = −8a_n+1 − 16a_n , n ≥ 0, a₀ = 5, a₁ = 17 A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_n+2xⁿ = ∑_n=0^∞(−8a_n+1 − 16a_n)xⁿ ∑_n=0^∞a_n+2xⁿ = −8∑_n=0^∞a_n+1xⁿ − 16∑_n=0^∞a_nxⁿ

1		−8
	(∑n=0∞an+2xn+2) =		(∑n=0∞an+1xn+1)
x2		x

−16∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_n+2xⁿ⁺² = −8x(∑_n=0^∞a_n+1xⁿ⁺¹) − 16x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=2^∞a_nxⁿ = −8x(∑_n=1^∞a_nxⁿ) − 16x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ − 5 − 17x = −8x(∑_n=0^∞a_nxⁿ − 5) − 16x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ =5+57x −8x(∑_n=0^∞a_nxⁿ) − 16x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ) (1+8x+16x²)(∑_n=0^∞a_nxⁿ) = 5+57x (1+8x+16x²)A(x) = 5+57x

	5+57x
A(x) =
	(1+4x)2

	5+20x		37x
A(x) =		+
	(1+4x)2		(1+4x)2

	5		37x
A(x) =		+
	1+4x		(1+4x)2

1
	= ∑n=0∞{(−4x)n}
1−(−4x)

1
	= ∑n=0∞{(−4)nxn}
1+4x)

d		1		d
	(		) =		(∑n=0∞{(−4)nxn})
dx		1+4x)		dx

	1
−		*4 = ∑n=0∞{n(−4)nxn−1
	(1+4x)2

−4
	= ∑n=0∞{n(−4)nxn−1
(1+4x)2

−4x
	= ∑n=0∞{n(−4)nxn
(1+4x)2

	37
an = 5*(−4)n −		n(−4)n
	4

	1
an = −		(37n − 20)(−4)n
	4

Mila: Cześć Tak myślałam, że rozwiążesz. Napiszę też swoje rozwiązanie.

Mariusz: Zastanawia mnie to że M tylko odświeża wątki a na nie nie odpowiada tak jakby był botem Chyba tylko Jakub mógłby go napisać

: r²=−8r−16 (r+4)²=0 a_n=A(−4)ⁿ+Bn(−4)ⁿ

⎧	5=A
⎩	17=−4A−4B

	37
an=5*4n−		n(−4)n
	4