odległość prostych równoleglych Olaa: jak obliczyć odległość między dwoma prostymi równoległymi:

	x−1		y−3		z+1
l1		=		=
	4		−2		3

	x		y		z
l2		=		=
	4		−2		3

z góry dziekuje za odpowiedź. Pozdrawiam Olaa

Ola: bardzo proszę chociaż o jakąś wskazówke.

AS: Sposób 1 (gotowym wzorem) Obliczyć odległość punktu M(a,b,c) od prostej danej równaniem

x − x1		y − y1		z − z1
	=		=
l		m		n

Wzór obliczający odległość (rozbity na części) w1 = a − x1 b − y1 w2 = b − y1 c − z1 w3 = c − z1 a − x1 l m m n n l

	w12 + w22 + w32
d2 =
	l2 + m2 + n2

Równania parametryczne prostych Pierwsza: x = 1 + 4*t , y = 3 − 2*t , z = −1 + 3*t Druga: x = 4*t1 , y = −2*t1 , z = 3*t1 Obieram dowolny punkt na pierwszej prostej dla t = 1 , x = 5 , y = 1 ,z = 2 M = (5,1,2) Dane potrzebne dp wzoru a = 5 x1 = 0 l = 4 b = 1 y1 = 0 m = −2 c = 2 z1 = 0 n = 3 Obliczam wyznaczniki w1 = 5 1 = −10 − 4 = −14 w2 = 1 2 = 3 + 4 = 7 w3 = 2 5 = 8 − 15 = −7 4 −2 −2 3 3 4

	(−14)2 + 72 + (−7)2		294
d2 =		=
	42 + (−2)2 + 32		29

	294
d = √
	29

W drugim poście podaję drugi sposób

AS: Sposób 2 Równania parametryczne prostych Pierwsza: x = 1 + 4*t , y = 3 − 2*t , z = −1 + 3*t Druga: x = 4*t1 , y = −2*t1 , z = 3*t1 Wektor normalny: w = [4,−2,3] Równanie płaszczyzny prostopadłej 4*x − 2*y + 3*z + D = 0 Obieram dowolny punkt na pierwszej prostej dla t = 1 , x = 5 , y = 1 ,z = 2 M = (5,1,2) Współrzędne tego punktu wstawiam do równania płaszczyzny,by znaleźć D 4*5 − 2*1 + 3*2 + D = 0 ⇒ D = −24 Równanie płaszczyzny prostopadej 4*x − 2*y + 3*z − 24 = 0 Równanie drugiej prostej wstawiam do równania płaszczyzny,by znaleźć t1 4*4*t1 − 2*(−2*t1) + 3*3*t1 − 24 = 0 ⇒ t1 = 24/29 Wyznaczam punkt przecięcia prostopadłej z drugą prostą x = 4*24/29 = 96/29 , y = −2*24/29 = −48/29 , z = 3*24/29 = 72/29 Punkt N = (96/29,−48/29,72/29) Szukana odległość d² = MN² = (5 − 96/29)² + (1 + 48/29)² + (2 − 72/29)² = 8626/29² = 294/29

	294
d = √
	29

Olaa: dziękuje bardzo za dokładne rozwiązanie zadania.

Olaa: tylko mam pytanie skąd sie wzięło to d².?

AS: Zamiast obliczać odległość d,przyjąłem d² by uniknąć pisania kłopotliwego pierwiastka ułamka.