ciągi peggy: Ciąg określony jest rekurencyjnie: a₁=√2+2√2 a_n+1=a_n²−2ⁿ czy możliwe jest aby a₂₀₀₀>2²⁰⁰⁰

peggy: pomoże ktoś?

Basia: trzeba zapewne wyznaczyć wzór ogólny, ale na razie nic sensownego mi nie wychodzi

Jack: może wystarczy sprawdzić czy jest ograniczony np. przez 2¹⁰⁰... Może w ten sposób będzie prościej

peggy: mi też nie.

peggy: nie miałam jeszcze granic..

bratek: pomoże ktoś?

Basia: a₂ = 2+2√2−2 = 2√2 a₃ = 8−2² = 4 a₄ = 16−8 = 8 a₅ = 64−16 = 48 a₆ = 48²−32 = 2304−32 =2272 można tak liczyć, ale to szaleństwo musi być jakiś inny sposób

peggy: nie dam rady tak do dwóch tysięcy...

peggy: ale dzięki i tak za próby.

Basia: zaćmienie umysłu jakieś mnie dopadło, to dosyć proste liczymy jak poprzednio a₁=√2+2√2 a₂ = 8−2²=4=2² a₃ = 16−2³=16−8=8=2³ a₄ = 2⁶−2⁴=2⁴(2²−1)=2⁴*3 > 2⁴ dowodzimy indukcyjnie, że: dla każdego n≥4 a_n>2ⁿ krok 1 a₄ =3*2⁴ > 2⁴ krok 2 Z: a_n > 2ⁿ T: a_n+1 > 2ⁿ⁺¹ dowód: a_n+1 = a_n²−2ⁿ [na mocy założenia indukcyjnego] > (2ⁿ)²−2ⁿ = 2²ⁿ−2ⁿ = 2ⁿ(2ⁿ−1) ≥2ⁿ(2⁴−1) [ bo n≥4] = 2ⁿ*15 > 2ⁿ*2 = 2ⁿ⁺¹ c.b.d.o. skoro zostało udowodnione, że dla każdego n≥4 a_n>2ⁿ to a₂₀₀₀>2²⁰⁰⁰

maturzysta 2011: Basia pomoż mi w zadaniach są to z rozszerzonej matury 2010 styczen