ułamki proste digi: Funkcje wymierną rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste. x/x⁴−1 Powiem szczerze, że niewiem o co w tym chodzi. Jeśli mógł by ktoś prócz rozwiązania podać jakieś info o co w tym chodzi albo jakiś link do w miarę zrozumiałej treści o tego typu działaniach był bym wdzięczny.

digi: odświeżam i proszę o rozwiązanie

AS: Pracuję nad tematem,ale coś mi nie wychodzi. Może po obiedzie będzie lepiej.

Basia:

x		x		x
	=		=		=
x4−1		(x2−1)(x2+1)		(x−1)(x+1)(x2+1)

A		B		Cx+D
	+		+
x−1		x+1		x2+1

A(x+1)(x²+1) +B(x−1)(x²+1) + (Cx+D)(x−1)(x+1) = x A(x³+x+x²+1)+B(x³+x−x²−1)+(Cx+D)(x²−1) = x A(x³+x+x²+1)+B(x³+x−x²−1)+Cx³−Cx²+Dx²−D = x x³(A+B+C)+x²(A−B−C+D)+x(A+B)+(A−B−D) = x A+B+C = 0 A−B−C+D=0 A+B=1 A−B−D = 0 A = 1−B 1−B+B+C=0 C=−1 1−B−B−D=0 D = 1−2B 1−B−B+1+D=0 D = 2B−1 D= −D D=0 1−2B=0 B=¹₂ A= −¹₂

x		1		1		x
	= −		+		−
x4−1		2(x−1)		2(x+1)		x2+1

jeżeli się nie pomyliłam

Bogdan: Proponuję wyznaczanie współczynników A, B, C, D w inny sposób.

x		A		B		Cx + D
	=		+		+		/ * (x4 + 1)
x4 − 1		x − 1		x + 1		x2 + 1

x = A(x + 1)(x² + 1) + B(x − 1)(x² + 1) + (Cx + D)(x − 1)(x + 1) Nie wykonujemy mnożenia, ale podstawiamy pod x "sprzyjające" liczby.

	1
x = −1: −1 = −4B ⇒ B =		, jak widać, wynik jest natychmiastowy;
	4

	1
x = 1: 1 = 4A ⇒ A =
	4

	1		1
x = 0 0 = A − B − D ⇒ D =		−		= 0
	4		4

	15		5		1
x = 2: 2 = 15A+5B+(2C+D)*3 ⇒ 2 =		+		+ 6C ⇒ 6C = −3 ⇒ C =
	4		4		2

x

1

dx

1

dx

1

xdx

∫

dx =

∫

+

∫

−

∫

=

x4 − 1

4

x − 1

4

x + 1

2

x2 + 1

	1		1		1		2x
=		ln|x − 1| +		ln|x + 1| −		∫		dx + C
	4		4		4		x2 + 1

	1		1		1		x2 − 1
=		ln|x2 − 1| −		ln|x2 + 1| + C =		ln|		| + C
	4		4		4		x2 + 1

digi: To zostaje tylko kwestia jakiegoś źródła informacji o tego typu działaniach. Zna ktoś jakieś materiały godne polecenia ?

AS: Poszukaj w Google − Rozkład ułamka na ułamki proste.

Re: Co oznacza podstawienie SPRZYJAJĄCE x ?

Aga1.: Takie by szybko wyliczyć 4 niewiadome , a więc 4 liczby np. miejsca zerowe, w tym przypadku 1 i −1 i jeszcze . 0 i 2