parametr Kasia: Dla jakich wartości parametru L (alfa) rozwiązaniem układu równań: x sin L - y cos L = 1 x cosL + y sin L = 0 jest para liczb (x,y) spełniająca równość y = - x² + 1

Kasia: Ma ktoś jakiś pomysł jak to zrobić? Próbowałam podstawić ten y = - x² + 1 do równań, ale nic ciekawego z tego nie wychodzi, Z jedynki trygonometrycznej może skorzystać?

Klux: Witam . Ja bym to zrobił w ten sposób : x sin L - y cos L = 1 -----> x = (1+ y cos L ) / sin L x cos L + y sin L = 0 wstawiam : {(1+y cos L) / sin L } cos L + y sin L = 0 gdy sprowadzisz do wspolnego mianownika (sin L ) otrzymasz : (1+y cos²+y sin²) / sinL = 0 gdy wyciagniesz y przed nawias to sin² + cos² = 1 ,czyli powstanie Ci : 1+y = 0 ,czyli y = -1 podstawiając do rownosci : -1= -x² + 1 -----> x = √2 lub x = -√2 podstawiając ponownie do ukladu rownań obliczone wartosci x i y otrzymasz ,że sin L = √2 / 3 . Wtedy automatycznie obliczysz cos L. Oczywiscie nie zapomnij rozpatrzeć II przypadku (gdy x= - √2. Mam nadzieję ,że Ci pomogłem . PZDR

Kasia: dziękuję bardzo, bardzo pomogłeś

Kasia: Nie jestem pewna jednak czy zamiast 1 + y = 0 nie powinno być 1+ y / sinL = 0 i co wtedy zrobić?

Klux: To Ci nic nie komplikuje . Jesli napiszesz w założeniach ,że sin L ma byś różne od 0 to mozesz ominąc sin L ,bo Ci jest do niczego nie potrzebne i masz 1+y= 0

Kasia: Mógłby ktoś jeszcze raz sprawdzić czy na pewno będzie wtedy dobrze?

Bogdan: Układ równań: 1. x sinα - y cosα = 1 2. x cosα + y sinα = 0 Rozwiązujemy układ metodą wyznacznikową: | sinα -cosα | W = | | = sin²α + cos²α = 1 | cosα sinα | | 1 -cosα | W_x = | | = sinα x = W_x / W = sinα | 0 sinα | | sinα 1 | W_y = | | = -cosα y = W_y / W = -cosα | cosα 0 | y = -x² + 1 -cosα = -sin²α + 1 -cosα = cos²α cos²α + cosα = 0 cosα (cosα + 1) = 0 cosα = 0 lub cosα = -1 α = π/2 + k * 2π lub α = π + k * 2π

Kasia: super, bardzo dziękuję, tylko nie rozumiem tego ostatniego zapisu, z alfą i k. Mógłby Pan wytłumaczyć?

Kasia: Już wszystko rozumiem, bardzo dziękuję za rozwiązanie tego zadania.

Bogdan: Najpierw poprawka: α = π/2 + k*π lub α = π + k*2π Pytanie w zadaniu brzmi: "dla jakich wartości parametru α ... ". α jest rozwiązaniem zadania, k jest liczbą całkowitą. Funkcja f(x) jest funkcją okresową, której wartości powtarzają się w kolejnych okresach. Narysuj wykres funkcji y = cosα Zauważysz, że ten wykres przecina oś x w punktach: α = π/2 oraz we wszytkich punktach na lewo od π/2 oraz na prawo od π/2 w odległościach π. Stąd zapis α = π/2 + k*π, np.: jeśli k = -3 to α = π/2 - 3π = (-5/2)π jeśli k = 0 to α = π/2 jesli k = 1 to α = π/2 + π = (3/2)π itd. Podobnie jest dla cosα = -1, tę wartość funkcja f(x) = cosα posiada dla α = π + k*2π, a więc np.: α = π (dla k = 0), α = 3π (dla k = 1), α = -9π (dla k = -5)

Klux: to moj tok rozumowania myli sie z prawdą ?

mUshrOOm.: chciałeś powiedzieć mija się z prawdą sorki ale nie mogłem sie powstrzymać przed poprawieniem cię

Bogdan: Do Klux. Z Twoich obliczeń: "{(1+y cos L) / sin L } cos L + y sin L = 0 gdy sprowadzisz do wspolnego mianownika (sin L ) otrzymasz : (1+y cos2+y sin2) / sinL = 0" Powinno być w ostatnim zapisie: (cos L + ycos² L + ysin² L) / sin L = 0, czyli nie 1, a cos L. Bezpieczniejsza w rozwiązywaniu układów równań jest metoda wyznacznikowa.