trygonometria iza: jak obliczyć takie równanie tg2x−ctgx=0

kachamacha: rozpisz tg2x

	1
ctgx zastąp
	tgx

Basia:

	sin2x		cosx		sinx*sin2x−cosx*cos2x
tg2x−ctgx =		−		=		=
	cos2x		sinx		sinx*cos2x

−(cosx*cos2x−sinx*sin2x		−cos(x+2x)
	=		= 0 ⇔
sinx*cos2x		sinx*cos2x

cos3x=0 i sinx≠0 i cos2x≠0 ⇔ 3x=^π₂+2kπ lub 3x = −^π₂+2kπ ⇔

	2kπ±π2		2kπ		π		4kπ±π		(4k±1)π
x =		=		±		=		=
	3		3		6		6		6

	(4k±1)π		(4k±1)
dla x =		sinx ≠0 bo		nigdy nie będzie liczbą całkowitą
	6		6

natomiast

	(4k±1)π
cos2x=cos
	3

pytanie czy to się może równać (2m+1)*^π₂ gdyby tak było, to

2(4k±1)		3(2m+1)
	=
6		6

8k±2=6m+3 a to jest niemożliwe bo 8k±2 parzysta, a 6m+3 nieparzysta nie ma kolizji z założeniami czyli

	(4k±1)π
x=
	6

Bogdan: Nie jak obliczyć równanie, ale jak rozwiązać równanie.

	π		π		π
tg2x = ctgx, Założenia: 2x ≠		+ kπ ⇒ x ≠		+ k*		i x ≠ k*π, k∊C
	2		4		2

	π		π		π
tg2x = tg(		− x) ⇒ 2x =		− x + k*π ⇒ 3x =		+ k*π
	2		2		2

	π		π
x =		+ k*
	6		3

Eta:

	2tgx
tg2x=
	1−tg2x

	1
ctgx=
	tgx

założenia

	π		π
tg x≠0 i tgx≠ 1 i tgx≠ −1 => x≠ k*π i x≠		+k*π i x≠ −		=k*π, k€C
	4		4

2tgx*tgx = 1 −tg²x => 3tg²x = 1

	1
tg2x=
	3

	√3		√3
tgx=		lub tgx= −
	3		3

	π		π
x=		+k*π lub x= −		+k*π , k€C
	6		6