planimetria stereometria Macius: trójkąt o bokach: 4, 3, 6 obraca się wokół każdego z boków. Oblicz objętości otrzymanych brył. Moje rozwiązanie: po obrocie wokół boku o długości 3 powstaje stożek o wysokości 3 i ramieniu 4, a długość tworzącej sam muszę obliczyć(5)? bo 6 nie może ją być. Podobnie po obrocie wokol 4. Ale po obrocie wokol boku o dlugosci 6 nie wiem co powstanie. Moze ktoś podpowiedziec.

kasiek: powstaną 2 stożki złączone podstawami. jednego tworzaca ma długość 4 a drugiego 3. Widzisz to?

Bogdan: Dzień dobry. Dany jest trójkąt o bokach długości: a, b, c i kątach: α, β, γ, w którym c jest najdłuższym bokiem, kąt α leży naprzeciw boku a, kąt β leży naprzeciw boku b, kąt γ leży naprzeciw boku c. 1. Jeśli: a² + b² < c² to trójkąt jest rozwartokątny, γ jest kątem rozwartym, α i β są kątami ostrymi, 2. Jeśli a² + b² = c² to trójkąt jest prostokątny, γ jest kątem prostym, α i β są kątami ostrymi i α + β = 90^o, 3. Jeśli a² + b² > c² to trójkąt jest ostrokątny, wszystkie kąty są kątami ostrymi. W podanym zadaniu: a = 3, b = 4, c = 6. 3² + 4² < 6², a więc trójkąt jest rozwartokątny. 1. Trójkąt obraca się wokół boku a = 3. Powstała wskutek obrotu bryła jest stożkiem o tworzącej c = 6 z wydrążonym w podstawie stożkem o tworzącej b = 4. Stożek zewnętrzny i wewnętrzny mają tę samą podstawę. 2. Trójkąt obraca się wokół boku b = 4. Powstała wskutek obrotu bryła jest stożkiem o tworzącej c = 6 z wydrążonym w podstawie stożkem o tworzącej a = 3. Stożek zewnętrzny i wewnętrzny mają tę samą podstawę. 3. Trójkąt obraca się wokół boku c = 6. Powstała wskutek obrotu bryła składa się z dwóch sklejonych podstawami stożków o tworzących a = 3 i b = 4 (bryła ta przypomina obracający się bączek).

Macius: dziękuję za podpowiedzi, muszę obliczyć tylko objętość a więc potrzebuje tylko znać promień i wysokość. Bok wokół którego się obraca trójkąt to wysokość? W 1 i 2 aby obliczyć objętość muszę dodać objętości obu tych stożków(wewnętrzny, zewnętrzny) czy może odjąć? W 3 przypadku bok wokół którego obraca się trójkąt jest średnicą podstawy?

Bogdan: W przypadku 1. i 2. objętość bryły jest różnicą objętości stożka zewnętrznego i wewnętrznego. W przypadku 3. objętość bryły jest równa sumie objętości stożków.

Bogdan: W przypadku 1. promieniem wspólnej podstawy stożków jest wysokość w trójkącie opuszczona na bok a = 3. W przypadku 2. promieniem wspólnej podstawy stożków jest wysokość w trójkącie opuszczona na bok b = 4. W przypadku 3. promieniem wspólnej podstawy stożków jest wysokość w trójkącie opuszczona na bok c = 6.

Bogdan: Dla wyznaczenia długości wszystkich wysokości w trójkącie, czyli długości: h_a - wysokość opuszczona na bok a, h_b - wysokość opuszczona na bok b, h_c - wysokość opuszczona na bok c, można obliczyć pole powierzchni trójkąta ze wzoru Herona: P_Δ = √p(p - a)(p - b)(p - c), gdzie p = (a + b + c) / 2. p = (3 + 4 + 5) / 2 = 13/2, p - 3 = 7/2, p - 4 = 5/2, p - 6 = 1/2. P_Δ = √13/2 + 7/2 + 5/2 + 1/2 = √455 / 4. teraz obliczamy długości wysokości z zależności: 3*h_a / 2 = √455 / 4 4*h_b / 2 = √455 / 4 6*h_c / 2 = √455 / 4

Macius: W 1 przypadku, h= 3 i dla l=6 r =3{3} a V= 27π h=3 i dla l=4 r² =7 a V= 7π czyli objętość całego stożka wynosi 20π Dobrze zrobiłem? W 2 przypadku natomiast nie wiem czy 4 wokół której obracany jest trójkąt jest wysokością w nowym stożku? bo jeśli tworząca stożka wewnętrznego wynosi 3 to wysokość musi już być inna?

Macius: nie odświeżyłem, czyli źle zrobiłem

Bogdan: Źle

Macius: Dziękuję bardzo, zrobiłem wszystko