Całkowanie funkcji wymiernej z kozkładem na czynniki Draken: Witam! Słuchajcie, mam problem, z który nie potrafię sobie dać rady. Chodzi o całkowanie funkcji wymiernej z rozkładem na czynniki. Robię przykład, a mam książkę, w której pokazane są rozwiązania, krok po kroku. Za Chiny nie rozumiem, skąd wzięło się jedno miejsce. Napiszę jak idzie w książce po kolei:

	3{x2}+2x−3		3{x2}−1+2x−2
∫		dx = ∫		dx => w tym miejscu jeszcze rozumiem
	{x3}−x		x{x−1}

chociaż wydaje mi się , że może być błąd. W liczniku, rozkładamy sobie wielomian, żeby uzyskać pochodną mianownika, przynajmniej w części. Ale w ogóle nie mogę zrozumieć, dlaczego nagle w mianowniku pojawiło się x (x−1) zamiast {x²}{x−1} Jedziemy dalej:

	3{x2}−1		2x−2
∫		dx + ∫		dx = => tutaj ładnie sobie autor rozbił
	{x3}−x		x({x2}−1)

licznik tak, aby pierwsza całka była wykorzystaniem prostego wzoru. Ale zwróćcie uwagę na mianownik − i w jednym i w drugim przypadku znowu mamy {x³} −x tylko różnie zapisane. Jedziemy dalej:

	dx
= ln |{x3}−x| + 2∫		=>tutaj zupełnie zgłupiałem. Gdzie się podział
	x(x+1)

licznik?!?!?!?! Dlaczego w mianowniku pod "dwójką" jest taki ułamek jaki jest a nie x({X²}−x) ?!?!?! A poniżej mamy już rozkład na czynniki proste, którego zupełnie ale to zupełnie nie mogę pokapować w tym przypadku:

1		A		B
	=		+		=> i tak samo tutaj − dlaczego mianownik wygląda tak jak
x(x+1)		x		x+1

wygląda? Czy ktoś mógłby mi: 1) wytłumaczyć o co chodzi? 2) ew. rozwiązać to, ale proszę − KROK PO KROKU i z komentarzem, jeśli można? Siedzę nad tym od 7 rano i nie mogę zrozumieć, co tu się stało.... Z góry dzięki

Draken: Nikt nic nie napisze.....

think: pierwsze przejście którego nie rozumiesz, to x³ − x = x(x² − 1) prawdopodobnie kwadrat zniknął w druku, gdyż być na pewno powinien

	2x − 2
co do		otóż to nie magia, ale prawie tylko wzory skróconego mnożenia i
	x(x2 − 1)

uproszczenie licznika i mianownika o wspólną wielokrotność x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

2x − 2		2(x − 1)
	=		= {ponieważ mamy postać
x(x2 − 1)		x(x − 1)(x + 1)

	2
iloczynową to można uprościć i otrzymujemy:} =
	x(x + 1)

Bogdan:

	3x2 + 2x − 3
∫		dx = E
	x3 − x

3x2 + 2x − 3		3x2 + 2x − 3
	=
x3 − x		x(x − 1)(x + 1)

Stosujemy rozkład na ułamki proste

3x2 + 2x − 3		A		B		C
	=		+		+		/ * x(x − 1)(x + 1)
x(x − 1)(x + 1)		x		x − 1		x + 1

3x² + 2x − 3 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) x = −1: −2 = 2C ⇒ C = −1 x = 0: −3 = −A ⇒ A = 3 x = 1: 2 = 2B ⇒ B = 1

	3		1		1
E = ∫		dx + ∫		dx − ∫		dx = 3ln|x| + ln|x − 1| − ln|x + 1| + K
	x		x − 1		x + 1

think: a w metodzie rozkładu na czynniki proste, to może na przykładzie jak masz dodać ułamki o różnych mianownikach to sprowadzasz je do wspólnego, bo inaczej się ich nie doda:

3		5		3*7 + 5*4
	+		=
4		7		4*7

jak widzisz mianowniki się mnożą... tzn, że skoro można było przeprowadzić operację sprowadzenia do wspólnego mianownika, to można przeprowadzić operację odwrotną polegającą na tym, że znajdziesz ułamki proste, z których powstał ten skomplikowany ułamek postaci

3*7 + 5*4
	.
4*7

Po pierwsze, w mianowniku musi być iloczyn, jak już jest iloczyn, to widzimy, że ułamki proste na jakie można go rozbić, to takie w których każdy z mianowników to poszczególny czynniki w danym mnożeniu, czyli, jeśli masz

licznik		licznik		licznik2
	= to interesuje się		+
x(x + 1)		x		x + 1

nie wiesz jakie to będą liczniki dlatego A i B, na ogół jest tak, że w liczniku wpisujesz wielomian o stopień mniejszy od mianownika, gdyby w mianowniku było x² + 1 to w liczniku takiego ułamka byś już napisał Ax + B. Mam nadzieję, że Ci już to trochę rozjaśniłam

Draken: Stokrotne dzięki! Już teraz łapię o co chodzi Wieeeeeeelkie thx