równania wielomianowe proszę o rozwiązanie zadania są to równannia wielomianowe Patryk: a) x³−3x²−4x+12=0 b) 2x³+3=x²+6x c) x³+5x²=3x+15 d)4x⁴+9x³=x+9 e) 1−x³=x²−x f) x⁴−8x=8−x³

kachamacha: czy przykład d) jest dobrze napisany?

Patryk: d) x⁴+9x³=x+9

kachamacha: o

kachamacha: wszystkie są metodą grupowania

kachamacha: a) x²(x−3)−4(x−3)=0 (x−3)(x²−4)=0 (x−3)(x−2)(x+2)=0 x=3 x=2 x=−2

Eta: d) x⁴+9x³−x−9=0 x³( x+9)−(x+9)=0 (x+9)(x³−1)=0 x= −9 v x= 1

Patryk: weź mi napisz resztę przykładów bo nie mam głowy dziś do tego

Dziaku: c.) x³+5x²=3x+15 x³ + 5x² − 3x − 15 = 0 x²(x+5) − 3(x+5) =0 (x² −3)(x+5) x= − √3 v x = √3 v x = −5

Dziaku: f.) x⁴−8x=8−x³ x⁴ + x³ − 8x − 8 =0 x³(x+1) − 8(x+1) (x³ − 8)(x+1) x= 2 v x= −1

Nerw: a) x3−3x2−4x+12=0 x2(x−3)−4(x−3)=0 (x2−4)(x−3)=0 (x−2)(x+2)(x−3)=0 x=2 x=−2 x=3 b) 2x3+3=x2+6x 2x3−x2−6x+3=0 x2(2−x)−3(2−x)=0 (x2−3)(2−x)=0 (x−√3)(x+√3)(2−x)=0 x=√3 x=−√3 x=−2 c) x3+5x2=3x+15 x3+5x2−3x−15=0 x2(x+5)−3(x+5)=0 (x2−3)(x+5)=0 (x+√3)(x−√3)(x+5)=0 x=−√3 x=√3 x=−5

kachamacha: b) 2x³−x²−6x+3=0 x²(2x−1)−3(2x−1)=0 (x²−3)(2x−1)=0 (x−√3)(x+√3)(2x−1)=0 x=√3 x=−√3 x=¹₂

kachamacha: e) −x³−x²+x+1=0 −x²(x+1)+(x+1)=0 (x+1)(1−x²)=0 (x+1)(1−x)(1+x)=0 x=−1 x=1

kachamacha: Nerw w b) są błędy

JJ: x³/x−2

aga: 2x+3x−2

aga: czy wie ktos jak to się robi z góry dzięki Aga

moni: (x−2) (x2+2x−3)

Nieznanaxp: 3x=63 rozwiążcie i wytłumaczcie o co w tym chodzi

zarty:

Mariusz: Równanie czwartego stopnia możesz rozwiązać rozkładając je na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych Możesz skorzystać z wzorów skróconego mnożenia i wyróżnika trójmianu kwadratowego albo z współczynników nieoznaczonych 1. Mamy równanie a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 : a₄

	a3		a2		a1		a0
x4+		x3+		x2+		x+		=0
	a4		a4		a4		a4

	a3		a2		a1		a0
(x4+		x3)−(−		x2−		x−		)=0
	a4		a4		a4		a4

Wielomian w lewym nawiasie dopełniamy do kwadratu zgodnie z wzorami skróconego mnożenia

	a3		a32
(x4+2		x3+		x2)
	2a4		4a42

	a32−4a4a2		a1		a0
−((		)x2−		x−		)=0
	4a42		a4		a4

	a3
(x2+		x)2
	2a4

	a32−4a4a2		a1		a0
−((		)x2−		x−		)=0
	4a42		a4		a4

Wielomian w prawym nawiasie jest trójmianem kwadratowym i będzie kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zera Gdy teraz zaczniesz liczyć wyróżnik może okazać się że będzie on różny od zera więc musisz go uzależnić od nowej zmiennej Nową zmienną wprowadzasz tak aby wielomian w prawym nawiasie nadal był kwadratem zupełnym (znowu korzystasz z wzorów skróconego mnożenia)

	a3		y
(x2+		x+		)2
	2a4		2

	a32−4a4a2
−((y+		)x2
	4a42

	a3		a1		y2		a0
+(		y−		)x+		−		)=0
	2a4		a4		4		a4

Δ=0

	4a0		a32−4a4a2
(y2−		)(y+		)−
	a4		4a42

	a3		a1
(		y−		)2=0
	2a4		a4

Otrzymujemy równanie trzeciego stopnia po rozwiązaniu którego wielomian czwartego stopnia przyjmuje postać różnicy kwadratów 2. Mamy równanie a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 : a₄

	a3		a2		a1		a0
x4+		x3+		x2+		x+		=0
	a4		a4		a4		a4

	a3
Stosujesz podstawienie x=y−
	4a4

i otrzymujesz równanie postaci y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=0 Aby uniknąć dzielenia przez zero proponuję rozważyć dwa przypadki 1. b₁=0 Rozwiązujemy równanie dwukwadratowe a jeżeli potrzebny jest nam tylko rozkład na czynniki kwadratowe to zespolone pierwiastki łączymy w pary sprzężone (y²)²+b₂(y²)+b₀=0 t=y² t²+b₂t+b₀=0 2. b₁≠0 Korzystamy z metody współczynników nieoznaczonych aby znaleźć rozkład wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych (y²−py+q)(y²+py+r)=y⁴+b₂y²+b₁y+b₀ Po porównaniu wielomianów dostaniemy układ równań którego rozwiązanie będzie wymagało rozwiązania równania trzeciego stopnia Równanie trzeciego stopnia a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0

	a2
Podstawienie y=x−
	3a3

prowadzi do równania y³=py+q Niech y=u+v y³=u³+3u²v+3uv²+v³=3uv(u+v)+u³+v³ y³=3uvy+u³+v³ y³=py+q y³=3uvy+u³+v³ Po porównaniu współczynników otrzymujemy 3uv=p u³+v³=q u³+v³=q

	p
uv=
	3

u³+v³=q

	p3
u3v3=
	27

Ten układ równań to wzory Vieta trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³

	p3
t2−qt+		=0
	27

Po znalezieniu pary (u,v) spełniającej układ równań u³+v³=q

	p
uv=
	3

pozostałe pary możesz znaleźć korzystając z zespolonych pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki Mając jeden pierwiastek równania trzeciego stopnia pozostałe pierwiastki możesz także znaleźć dzieląc ten wielomian przez dwumian x−x₁ gdzie x₁ to znaleziony pierwiastek