Wykaż, że .... Matheo: Mam problem z tymi zadaniami typu wykaż: 1. Wykaż że jeśli a₁/b₁ = a₂/b₂ = ... = a_n/b_n i b₁ + b₂ + ... + b_n ≠0 to a₁ + a₂ + ... + a_n / b₁ + b₂ + .... + b_n = a₁ / b₁ 2. Wykaż, że suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy i ich iloczynu 3. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność a² + b² + c² ≥ ab + ac = bc Będę wdzięczny za pomoc

Bogdan: Posługuj się nawiasami przy pisaniu ułamków, bez nich Twój zapis jest niejasny. Czy w 1. ma być: (a₁ + a₂ + ... + a_n) / (b₁ + b₂ + .... + b_n) = a₁ / b₁ Czy w 3. ma być: a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc

Matheo: Tak, w obu tak ma być, w 3 popełniłem literówkę, sorry za małą czytelność

Bogdan: 1. a₁/b₁ = a₁/b₁ → a₁ = (a₁/b₁) * b₁ a₂/b₂ = a₁/b₁ → a₂ = (a₁/b₁) * b₂ a₃/b₃ = a₁/b₁ → a₃ = (a₁/b₁) * b₃ ....... a_n/b_n = a₁/b₁ → a_n = (a₁/b₁) * b₁ Do podanego niżej wyrażenia wstaw w miejsce a₁, a₂, a₃, ... , a_n wyrażenia wyżej wyznaczone, wyłącz w liczniku przed nawias (a₁/b₁) i skróć licznik z mianownikiem a₁ + a₂ + a₃ + ...... + a_n -------------------------------------- b₁ + b₂ + b₃ + ...... + b_n

Bogdan: 2. x > 0, y > 0, x ≠ y Wykazać, że x³ + y³ > (x + y) * xy Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) (x + y)(x² - xy + y²) > (x + y) * xy (x + y)(x² - xy + y²) - (x + y) * xy > 0 (x + y)(x² - xy + y² - xy) > 0 → x² - 2xy + y² > 0 → (x - y)² > 0 Ponieważ x > 0 i y > 0 i x ≠ y i (x + y) > 0 Kwadrat dwóch różnych liczb dodatnich jest dodatni, co kończy uzasadnienie.

Bogdan: 3. Spróbuj teraz sam. Wskazówka: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Matheo: Dziękuję za rozwiązania tych dwóch zadań. W trzecim robiłem tak: 2(a² +b² + c²) ≥ 2(ab + ac + bc) 2(a² +b² + c²) - 2(ab+ ac + bc) ≥0 /:(-1) -2(a²+b²+c²) + 2ab + 2ac + 2bc ≤0 raczej źle ale nie wiem co teraz zrobić aby dojść do tego wzoru (a+b+c)²

pixi: Podpowiem Ci ! a² +b² +c² = ( a+b+c)² - 2ab - 2ac - 2bc czyli a² +b² +c² ≥ ab +ac + bc ( a+b +c)² - 2ab - 2ac - 2bc ≥ab +ac +bc (a +b +c)² ≥ 3ab +3ac +3bc / 3 (a +b +c)²/3 ≥ab +ac + bc co kończy dowód

ziom: Ty frajerze to było źle zrobione!