granica bla bla : z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę przy n→∞ limⁿ√3ⁿ−2ⁿ jeden ciąg znalazłam: ⁿ√3ⁿ ale nie mam pojęcia jaki jest drugi...

pinokio: ⁿ√3ⁿ−3³

pinokio: cholera ta 3 druga tez do n

pinokio: granica wyjdzie oczywiscie 3

Trivial: Musi być z trzech ciągów? a_n = ⁿ√3ⁿ − 2ⁿ = ⁿ√3ⁿ(1 − (2/3)ⁿ) = 3*ⁿ√1 − (2/3)ⁿ → 3.

maciej: wynik poprawny oczywiscie, tylko bez tw 3 ciagow dowod opiera sie na tej samej logice co lim(1+1/n)ⁿ→1

Trivial: Przecież mamy sytuację [1⁰]

Trivial: [(1 − 0)^1/∞] = [1⁰] = 1.

pinokio: ⁿ√2*3ⁿ=3ⁿ√2

maciej: na tej samej analogii w zacytowanym przykladzie mamy przypadek 1^∞

pinokio: czyli √2 dazy do 1 razy 3 czyli granica 3

maciej: Trivial ja wszystko rozumiem, tylko twoja argumentacja nie opiera sie na zadnym twierdzeniu dotyczacym ciagow liczbowych

maciej: pinokio dales ograniczenie z gory, musisz jeszcze podac ograniczenie z dołu aby byly te 3 ciagi

Trivial: Zrobiłem bez trzech ciągów, bo moim zdaniem prościej.

Trivial: Może coś takiego: ⁿ√3ⁿ − 3ⁿ⁻¹ ≤ ⁿ√3ⁿ − 2ⁿ ≤ ⁿ√3ⁿ

pinokio: 3(granica)=ⁿ√3ⁿ<ⁿ√3ⁿ−2ⁿ<√2*3ⁿ=3ⁿ√2=3(granica) czyli z tw. o 3 ciagach podany ciag tez ma granice w 3

pinokio: ok to ja nei wiem

maciej: teraz bardzo ladny dowod

maciej: oczywiscie chodzi o dowod Trivial, pinokio niestety ciag po lewej nie spelnia nierownosci,k tora napisales

Trivial: Mimo wszystko, pierwsza metoda bez tw. o trzech ciągach wydaje się bardziej naturalna.

pinokio: jak nie

pinokio: oczywiscie wszedzie mialo byc≤ a nie<

Trivial: pinokio, od kiedy to 3ⁿ < 3ⁿ − 2ⁿ?

pinokio: aaa cholera ten −

maciej: trivial dla mnie najbardziej naturalne w tym przykladzie bylo po prsotu napisac lim=3, opierajac sie na intuicji. Na tej samej intuicji ty sie opierasz w 1 podejsciu w 1 przypadku ta intuicja okaze sie sluszna w innym np cytowanym przeze mnie wczesniej ... nie Po prostu nie ma twierdzenia, ktore mowi ze mozna osobno analizowac ganice wnetrza i potem, w nastepnym kroku granice z zewnetrznej warstwy (jezeli ona tez jest w granicy)....

Trivial: Tyle tylko, że [1⁰] to symbol oznaczony, podczas gdy [1^∞] już nie.

maciej: oczywiscie ze 1^∞ jest symbolem okreslonym w innym przypadku nie wiedzielibysmy ile wynosi granica ciagu 1ⁿ a wiemy przecierz?

Trivial: Symbole nieoznaczone mówią nam o tym, kiedy granica może być 'prawie' dowolna. Granica wyrażenia [1^∞] może być prawie dowolna, bo jest symbolem nieoznaczonym. Nie wyklucza to faktu, że może to być po prostu 1.

maciej: dobra, tak sie mozna przepychac w ∞ mysle, ze rozwojowe dla nas obojga bedzie, jezeli przeprwowadzisz swoje rozumowanie (odnosnie sposobu 1) jeszcze raz, krok po kroku, do kazdego kroku dopisujac twierdzenie, na ktorym sie opierasz. niestety musze wracac do pracy ale wieczorkiem na pewno zerkne

Trivial: Moje rozumowanie opierało się na znajomości symboli nieoznaczonych. Nic specjalnego tam nie ma. http://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_nieoznaczony