Ma ktoś pomysł na rozwiązanie? Bo mi nie przyszedł nadal ***GEOMETRIC***: W okręgu o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD. Z punktu A prowadzimy cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie N. Wyznacz miarę kąta jaki cięciwa tworzy ze średnicą AB, jeśli wiadomo, że w czworokąt OBMN można wpisać okrąg. Załączam obrazek a na nim to, co udało mi się ustalić: http://img101.imageshack.us/my.php?image=geometric128zh4.jpg

Bogdan: AN = d, NM = b, AO = OB = R, BM = a, NO = c 1. Kąt BMA jest prosty, kąt AON jest prosty, kąt BAM = α € (0, π/4) a / (2R) = sinα → a = 2R sinα c / R = tgα → c = R tgα → c = Rsinα / cosα R / d = cosα → d = R / cosα (b + d) / (2R) = cosα → b + d = 2R cosα → b + R / cosα = 2R cosα b = 2R cosα - R/cosα 2. Z własności okręgu wpisanego w czworokąt: R + b = a + c R + 2R cosα - R / cosα = 2R sinα + Rsinα / cosα Mnożymy powyższą równość przez (cosα / R) cosα + 2cos²α - 1 = 2sinα cosα + sinα Korzystamy ze związków: 2cos²α - 1 = cos2α i 2sinα cosα = sin2α cosα + cos2α = sin2α + sinα 2cos(3α/2) cos(α/2) = 2sin(3α/2) cos(α/2) Dzielimy ostatnią równość obustronnie przez 2cos(α/2) i korzystamy z własności: sinx = cos(π/2 - x) cos(3α/2) = cos(π/2 - 3α/2) 3α/2 = π/2 - 3α/2 + k*2π lub 3α/2 = -π/2 + 3α/2 + k*2π k € C 3α = π/2 + k*2π lub 0 = -π/2 + k*2π co jest sprzeczne Ponieważ α € (0, π/4), więc α = π/6

nocek:

Bogdan: Dobranoc nocku

nocek: Dobranoc! Miłych snów! Do jutra!

GEOMETRIC: Bogdanie serdecznie dziękuję za pomoc, mam tylko pytanko, czy Korzystanie ze związków: 2cos2α - 1 = cos2α i 2sinα cosα = sin2α jest tu konieczne, czy da się to jakoś obejść? albo zrobić inaczej? Nie robiłam jeszcze tych związków w szkole...