Admin: Do tramwaju składającego się z 3 wagonów wsiada 9 pasażerów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że do a) każdego wagonu wsiądzie po 3 pasażerów? b) do pierwszego wagonu wsiądzie 4 pasażerów?

Weronika St: a) moc omegi: W 9 po 3 czyli 3⁹ = 19683 moc A: C 3 po 9 * C 3 po 6 * C 3 po 3= 1680 prawdopodobieństwo: 1680 : 19683= 560/6561

PW: Wynik jest dobry. Argumentacja słaba (właściwie żadna). Zacznijmy porządnie. Modelem matematycznym wsiadania 9 pasażerów do 3 wagonów (uwzględniającym indywidualne niezależne decyzje każdego z pasażerów i kolejność wagonów, np. według kierunku jazdy) jest każda funkcja f:{1,2,3,...,9}→{1,2,3} przyporządkowująca każdemu z pasażerów numer wagonu. Inaczej mówiąc zdarzeniem elementarnym jest każdy 9−elementowy ciąg o trzech możliwych wyrazach: (x₁,x₂,x₃,...,x₉), x₁,x₂,x₃,...,x₉∊ {1,2,3}. Niektórzy takie ciągi nazywają wariacjami z powtórzeniami. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω liczy zatem 3⁹ elementów. Dla postronnego obserwatora, który nie zna pasażerów i ich zwyczajów, każde ze zdarzeń elementarnych jest jednakowo możliwe, należy więc zastosować twierdzenie zwane klasyczną definicją prawdopodobieństwa. Prawda, że miło się czyta, gdy ktoś się wysili? No to teraz zadam niewygodne pytanie: − Zbiór zdarzeń elementarnych składa się z 9−elementowych ciągów. Dlaczego licząc moc zbioru A

	9 3		6 3
mówimy o kombinacjach − widzę		·		− czyżby błąd logiczny? A może da się o tym

opowiedzieć w języku ciągów? Przecież A musi być podzbiorem zbioru Ω.

Mila: Jeśli to LO, to rozważamy przypadek, że osoby są rozróżnialne.

PW: Tak, i taką wersję przyjąłem. Czekam na to, że Weromika St wytłumaczy, jak liczyła liczbę ciągów za pomocą kombinacji, albo pokaże "w czysty sposób" jak policzyć liczbę takich specyficznych ciągów. Warto czasem zwrócić uwagę nie tyle na wynik, co na poprawność rozumowania i argumentację (stary belfer się odzywa we mnie).

model matemtyczny : dlaczego xd

model matemtyczny : zrobi ktos na ciagach?

model matemtyczny : dobra czaje

model matemtyczny : czyli zamiast kombinacji zrobiłem tak tworzę ciąg ponieważ taki model matematyczny zakładam no i wiem ze ten ciag musi zawierac wyraz (111 222 333) no i permutuje ten ciag 9!/3!3!3! =1680 wchodzi to samo

model matemtyczny : zastanwia mnie teraz to co napisał pw dlaczego kobinacje są tutaj ok mimo ze model matematyczny jest zupelnie inny i dlaczego mozna tak robic

PW: Kombinacje mogły być zastosowane, gdyż rozumowanie polega na stwierdzeniu: − z dziewięciu miejsc w ciągu wybieramy trzy, na których będą np. jedynki, − z pozostałych sześciu miejsc wybieramy trzy, na których będą np. dwójki. Wszystkich sposobów "obsadzenia miejsc w ciągu" jest więc

	9 3		6 3
		·

(trójki można wstawić już tylko na jeden sposób, miejsca dla nich wyłonione są automatycznie). Liczenie tym wzorem daje wszystkie możliwości − każde z miejsc w ciągu 9−elementowym może być obsadzone zarówno jedynką, dwójką, jak trójką.

PW: Widać jednak, że takie liczenie wymaga komentarza, a takich komentarzy na ogół uczniowie nie umieją pisać. Dlatego w ogóle półtora roku temu zabierałem głos w sprawie tego skądinąd prostego zadania. Mnie znacznie bardziej przekonuje jednolita wypowiedź: skoro zdarzeniami elementarnymi są wariacje z powtórzeniami, to zdarzenie A składa się z takich wariacji, w których po trzy razy występuje każda z wartości 1, 2, 3. Jest na to wzór i nic nie trzeba tłumaczyć.

Jack:

n!
(n−k)!

model matematyczny: a jak będzie wyglądał podpunkt b ? podobnie jak w pierwszym wybierzemy kombinacją 4 osoby z 9 a co z pozostałymi 5 ?

model matematyczny: bo mają oni tylko 2 możliwości więc 2⁵ ?

model matematyczny: +2 przypadki gdy wszyscy trafią do 2 albo do 3

model matematyczny:

	9 4
więc czy obliczona moc w podpunkcie b) jest ok |A|=		* 25 +2

model matematyczny: bez tej dwójki coś mi się pomyliło szkoda ze nie mozna edytować

PW: Zdarzenie B − "do pierwszego wagonu wsiadły 4 osoby" składa się z takich wariacji 9−elementowych, w których cztery wartości stanowią jedynki i: − 5 pozostałych stanowią dwójki lub − 5 pozostałych stanowią trójki lub − 4 wartości stanowią dwójki (dziewiątą wartością jest trójka) lub − 4 wartości stanowią trójki (dziewiątą wartością jest dwójka) lub − 3 wartości stanowią dwójki i dwie stanowią trójki lub − 3 wartości stanowią trójki i dwie stanowią jedynki. Liczność każdego z tych podzbiorów liczy się podobnie:

	9!		9!		9!
		lub		lub		.
	4!·5!		4!·4!		4!·3!·2!

model matematyczny: to strasznie długi sposób liczenia sprawdzę czy wyjdzie taki sam wynik jak przy tym który podałem powyżej

model matematyczny: a i jeszcze jeden dylemat mam co do 1 podpunktu a) jeżeli rozróżniamy osoby i rózróżniamy wagony to czy w pierwszym nie powinno być przy kombinacjach jeszcze 3*2 bo przecież (1,2 I wagon) (1,2 II wagon) (1,2 III wagon)

model matematyczny: (1,2,3 I wagon ) ... .. .

model matematyczny: wychodzi to samo

model matematyczny: 4032

PW: Nie ustawiamy ludzi w kolejkę przed wsiadaniem, nie ma w tym zadaniu znaczenia, kto pierwszy dopadł miejsca w tramwaju. Interesują nas indywidualne decyzje 9 ludzi, np. (3,1,1,3,2,2,2,2,1) − wiadomo, że osoba nr 1 wsiadła do wagonu nr 3, osoby nr 2 i 3 wsiadły do wagonu nr 1 itd. Nie interesujemy się, która z osób wsiadających do wagonu nr 2 zrobiła to pierwsza, która druga, trzecia czy czwarta. Można powiedzieć, że obserwację prowadzimy gdy już wszyscy zajęli miejsca. Dobrze, że sprawdziłeś rachunki obiema metodami. Musiało być to samo, bo oba sposoby są poprawne myślowo. Takie sprawdzenie warto zrobić choć raz w życiu, to dodaje pewności i pozwala podjąć decyzję: która z metod jest w konkretnym zadaniu szybsza i pozwala uniknąć ewentualnych błędów.

model matematyczny: w sumie po zastanowieniu się mój pomysł nie miał sensu ponieważ zastosowanie kombinacji sam w sobie określa że rozróżniamy pociągi rozpatrzmy przyklad a) tylko załóżmy że mamy 2 wagony i 4 pasażerów ponieważ jest mniej pisania. Wybieramy 2 pasażerów z pośród 4 reszta tworzy sama parę tym samym tworzy według mnie coś podobnego do ciągu ponieważ rozróżniamy że pierwsza para trafia do I wagonu {1,2} czy {3,4} trafia do I stąd: ( {1,2}, {3,4} ) ( {1,3}, {2,4} ) ( {1,4}, {2,3} )

	4 2
		=6

( {3,4}, {1,2} ) ( {2,4}, {1,3} ) ( {2,3}, {1,4} ) Gdybyśmy nie rozrożniali wagonów tzn nie przypisywalibyśmy im numerów to w a) było by 6/2! =3 czy teraz rozumowanie jest ok ?

PW: ... zastosowanie kombinacji sam w sobie określa że rozróżniamy pociągi ... Wybieramy 2 pasażerów z pośród 4 reszta tworzy sama parę tym samym tworzy według mnie coś podobnego do ciągu ... Przeczytaj te fragmenty swoich wypowiedzi i odpowiedz sobie sam, dlaczego już nie będę dalej nic odpisywał.

model matematyczny: Zgłębiłem temat bardzo szczegołowo i mysle ze tutaj kolenośc tych podzbiorów ma znaczenie

model matematyczny: dobra to co napisałem do bełkot kompletny ogólnie napiszę inne zadanie i mam nadzięję ze mi pomożesz (to zadanie uznajmy za zamkniętę zrozumiałem).Za to nie rozumiem pewnego zadania mamy 12 dziewcząt Na ile sposobów można dokonać podziału grupy siatkarek na zespoły 4 osobowe wiem że konieczne będzie dzielenie przez silnie tylko nie wiem do końca dla czego podobnie bedziemy tworzyli ciag skladajacy sie z 12 elementowy i bedziemy mu przypisywali wartosci funkcji {1,2,3} będziemy robili to przez kombinacje 12 po 4 nastepnie 8 po 4 tylko za bardzo nie rozumiem dlaczego później będziemy dzieli przez 3! to trochę przypomina że dzielmy tak ponieważ nie chcemy by te zespoły były ustawione w szeregu chodzi coś o nierozróżnialność ale nie ma pojęcia o co chodzi to będzie prawdopodobnie tyle w tym watku

model matematyczny: yolo

model matematyczny: ktokolwiek cos

model matematyczny: yep

model matematyczny: pw sie załamał

Eta: Jak zobaczył taki "model" ?

model matematyczny: czasami pozuje do zdjęć ale nie często. to może odrazu jak wpadłaś na pogaduchy to mi pomożesz i rozwiejejesz wątpliwości gdy tworzy się jakieś podgrupy czasami dzielisię przez silnie o co hoooo?

model matematyczny: ETA PW

model matematyczny: MILA LESIO KTOKOLWIEK