zadanie asia69: cześć jak udowodnić taką nierówność dla n∊N i x>=−1 (1+x)ⁿ>=1+n*x ?

Trivial: Indukcją. 1. n₀ = 1, wtedy: (1 + x)¹ ≥ 1 + 1*x OK. 2. ∀n > n₀: (?) ((1+x)ⁿ ≥ 1 + nx) ⇒ ((1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n+1)x) (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (n+1)x (1+x)ⁿ*(1+x) ≥ 1 + nx + x (1+x)ⁿ + x(1+x)ⁿ − x ≥ 1 + nx (1+x)ⁿ + x[(1+x)ⁿ − 1] ≥ 1 + nx Twierdzenie zachodzi, jeśli: x[(1+x)ⁿ − 1] ≥ 0 Przypadek I x ≤ 0 (1+x)ⁿ − 1 ≤ 0 (1+x)ⁿ ≤ 1 / ⁿ√ , bo x ≥ −1 1 + x ≤ 1 x ≤ 0, więc OK. Przypadek II x ≥ 0 (1 + x)ⁿ − 1 ≥ 0 (1 + x)ⁿ ≥ 1 / ⁿ√ , bo x ≥ −1 1 + x ≥ 1 x ≥ 0, więc OK. Co kończy dowód.

asia69: yyy, dzieki

Vax: Dowód indukcyjny jest zdecydowanie dłuższy, moim zdaniem lepiej to udowodnić korzystając z dwumianu Newtona, dzięki któremu po rozpisaniu lewej strony i zredukowaniu wyrazów podobnych od razu otrzymamy tezę. Pozdrawiam.