Na podstawie zasady indukcji matematycznej, udowodnij: Rybałtka: Na podstawie zasady indukcji matematycznej, udowodnij: 1/√1+1/√2+1/√3+...+1/√n>√n dla n≥2

Basia: krok 1 dla n=2

1

1

1

√2+1

√2(√2+1)

2+√2

L=

+

= 1+

=

=

=

≈

√1

√2

√2

√2

2

2

	1,4
1+		= 1,7
	2

P=√2≈1,4 L>P dowód dokładny (bez przybliżeń) wygląda tak: liczymy

	2+√2		2+√2−2√2		2−√2
L−P =		−√2 =		=		>0
	2		2		2

czyli L>P

	1		1		1
Z:		+		+....+		>√k
	√1		√2		√k

	1		1		1		1
T:		+		+....+		+		>√k+1
	√1		√2		√k		√k+1

dowód:

1		1		1		1
	+		+....+		+		>
√1		√2		√k		√k+1

	1		√k+1√k+1
√k+		=
	√k+1		√k+1

przypuśćmy, że

√k+1√k+1
	≤ √k+1 ⇔
√k+1

√k+1√k+1 ≤ k+1 ⇔ √k+1√k ≤ k ⇔ (k+1)*k ≤k² ⇔ k²+k ≤ k² ⇔ k≤0 sprzeczność, czyli przypuszczenie jest fałszywe czyli

√k+1√k+1
	> √k+1
√k+1

c.b.d.o.

Rybałtka: Dzięki wielkie