granica ciągu nelly:

	4n − 3
korzystając z definicji granicy ustalić ile wyrazów ciągu an =		leży poza
	2n + 1

otoczeniem jego granicy o promieniu e=0,5

Trivial:

	4n − 3		4n − 3
lim		= g :⇔ ∀ε>0 ∃n0: ∀n > n0 |		− g| < ε
	2n + 1		2n + 1

g = 2, ε = 0.5, n > 0

	4n − 3
|		− 2| < 0.5
	2n + 1

	4n − 3		4n + 2
|		−		| < 0.5
	2n + 1		2n + 1

	−1
|		| < 0.5 n > 0
	2n + 1

1
	< 0.5 / *(2n + 1)
2n + 1

	1
1 < n +
	2

	1
n >		⇒ Tylko a0 leży poza otoczeniem granicy o promieniu ε = 0.5.
	2

Odp.: 1.

Trivial: Pomyliłem się, a więc poprawiam:

	4n − 3		4n + 2
|		−		| < 0.5
	2n + 1		2n + 1

	−5
|		| < 0.5 n > 0
	2n + 1

5
	< 0.5 / *(2n + 1)
2n + 1

5 < n + 0.5 n > 4.5 Odp.: 5.

nelly: dziekuje, choć ja to troche inaczej obliczałam na podstawie innego zadania i chciałam upewnic sie czy mam dobrze , skoro rownanie mamy wpisane w moduł to czy czasem nie trzeba go tak rozpisac: x < g − ε lub x > −g + ε

	3
wynik 1go rownania wyszedł mi identyczny a drugiego
	14

i nie rozumie jaka ma być odp.

nelly: poprawiam: z 1 go rownania wyszlo mi x>4,5

	3
z drugiego rownania wyszlo mi x<
	14

Trivial: Zauważ, że n > 0.

	−5		5
To oznacza że:		jest ujemne i moduł z tego to po prostu		.
	2n + 1		2n + 1

Trivial: poprawka: n≥0.

nelly: a no fakt , zakręciłam sie dziekuje bardzo

nelly: a no, na ten znak nie zwróciłam uwagi choć mam dobrze w obliczeniach, zatem mam jeszcze jedno pytanko zawsze ten sam znak bedzie czy czasem może byc poprostu n>o ? tzn kiedy konkretnie mam uzyc mniejsze lub wieksze a kiedy wieksze badz rowne lub mniejsze badz rowne ?

Trivial: n ∊ℕ czyli n ≥ 0 z założenia.

nelly: hm, czyli zawsze robic wg zalozenia mam prośbe, bo w ta sobote mam kolokwium i mam 9 przykladowych zadan czy jeśli bym ci je wyslala rozwiazal bys to? jesli bedziesz umial ? byla bym bardzo wdzieczna, niestety teraz mam maly problem z matematyka

Trivial: Napisz, zobaczę czy potrafię zrobić.

nelly: wyznaczyc złożenie fog(x) oraz gof(x) funkcji f(x)=log(x²) +3) i g(x)= x−2 i wyznaczyć jej dziedzinę

nelly:

	5*2x−5
2. wyznaczyc funkcję odwrotną do funkcji f(x) =		oraz określic jej
	3*2x−4

(naturalną) dziedzinę

Trivial: (fog)(x) = f(g(x)) (gof)(x) = g(f(x)) To nic trudnego. Wstawiasz najpierw jeden wzór, potem to co ci wyjdzie pod drugi...

nelly: 3. to było to pierwsze co mi rozwiazales 4. oznaczyc asymptote ukosna w ∞ funkcji f(x)= √x² − 1 +x

nelly: no dobrze a dziedzine normalnie z funkcji kwadratowej ?

nelly:

	3x2 + 5x −2
5. obliczyc granice funkcji lim x→ −2 =
	4x2 + 9x + 2

nelly:

	1−x
6. obliczyc pochodna funkcji f(x) = P{		}
	1+x

nelly:

	1−x
f(x) = √
	1+x

nelly: 7. załóżmy ze c(x) = 0,05x² +14x +320 jest funkcja kosztów produkcji pewnego towaru a) obliczyc, dla jakiej wielkosci produkcji koszt sredni bedzie najmniejszy b) jaka powinna byc wielkosc produkcji aby przy cenie zbytu p= 26 j.p. uzyskac max zysk ?

nelly: 8. wyznaczyc najmniejsza i najwieksza wartosc funkcji f(x) 2x³ − 15x² + 36x −21 w przedziale [−1,3]

Trivial: Wiesz co, nie za bardzo mam teraz czas. Ale potem zajrzę.

nelly: 9. obliczyc pole obszaru zawartego miedzy wykresem funkcji f(x) = −x² +3x − 2 i osia ox

nelly: oki bede bardzo wdzieczna.

Trivial: 2.

	5*2x − 5
y =
	3*2x − 4

dla uproszczenia: t = 2^x

	5t − 5
y =		/ *3t − 4
	3t − 4

y(3t − 4) = 5t − 5 3yt − 4y − 5t + 5 = 0 t(3y − 5) = 4y − 5

	5y − 5
2x =		/ log2
	3y − 5

	5y − 5
f(y) = log2(		)
	3y − 5

Dziedzinę to już wiadomo jak.

Trivial: 5.

	3x2 + 5x − 2		6x + 5
limx → −2		= H = limx → −2		= 1.
	4x2 + 9x + 2		8x + 9

Trivial: 6. f(x) = √(1−x) / (1+x)

	1		1−x
f'(x) =		*(		)' =
	2√(1−x) / (1+x)		1+x

	√(1+x)(1−x)		−(1+x) − (1−x)
=		*		=
	2(1 − x)		(1+x)2

	√(1+x)(1−x)		−2
=		*		=
	2(1 − x)		(1+x)2

	√(1+x)(1−x)
= −		.
	(1 − x)(1+x)2

nelly: yyyy, moment nie czaje troche tego z ta granica funkcji − 5 moglbys tak troche wytlumaczyc ?

Godzio: Można to tak zrobić :

(x + 2)(3x − 1)		3x − 1		−7
	=		x→−2 →		= 1
(x + 2)(4x + 1)		4x + 1		−7

nelly: oo to juz lepiej i jaśniej wygląda

nelly: a czy ktos potrafi rozwiazac pozostale przykłady ?

nelly: ?