Pochodne Magda: Prosze o pomoc, o spr paru przykładów:

	3x
1) y=
	2+x2

	3(2+x2)−3x*2x		6+3x2−6x2		6−3x2
y'=		=		=
	(2+x2)2		(2+x2)2		4+x4

da się to jeszcze dalej skrócić? potrzebne mi to do wyliczenia ekstremum funkcji 2) y= √1−(arccosx)²

	1		−1
y'=		* 2arccosx *
	2√1−(arccosx)2		√1−x2

czy znaki zgadzają się w tym? 3) y= sin⁴x− cos⁴x y'= 4sin³x *cosx+ 4cos³x*sinx = 4sinxcosx(sin²x+cos²x)= 4sinxcosx= 2sin2x ktoś mi to tak rozwiązał, tylko chciałabym wiedzieć skąd wzieło się po pierwszym znaku = te +4cos³x*sinx, jak ja to liczę to znaki mi się nie zgadzają

Magda: PROSZĘ O POMOC, O SPR CZEGOKOLWIEK

zak: poch cos=−sin 1 dobrze 2 mi sie nie podoba 3 dobrze

alfa: w pierwszym dobry jest zapis po pierwszym i drugim znaku równości, ale ostatnie przekształcenie zawiera błąd w mianowniku, powinnaś tam zastosowa wzór skróconego mnożenia

Magda: a możesz powiedzieć w 3) skąd wzięło się te + 4cos³x* cosx bo jak ja liczę to mam inne znaki przed, ktos pewnie już je pozmieniał także mógłbyś to rozpisać, proszę a co w 2) sie nie podoba, chodzi mi o znaki + − czy sa dobrze, szczególnie przed 2arccosx czy nie powinno być tam −2arccosx w 1) nie da sie już skrócić tak, czyli dobrze

alfa: (2+x²}²=4+4x²+x⁴

zak: w 1 w m ainowniku brakuje 4xx

alfa: to do tego mianownika

Magda: aha czyli w 1) powinno być

	6−3x2
=		i to juz jest konieć tak?czy jeszcze dalej podnosic do 4
	(4+4x2+x4)2

Magda: znaczy do 2 nie do 4

alfa: nie, już bez nawiasu i potęgi drugiej, bo to już jest zastosowany wzór skróconego mnożenia

alfa:

	6−3x2
najlepiej tak:...=
	(2+x2)2

Magda: ano tak a w 2) przykładzie czy jest dobrze, chodzi mi o znaki czy przed 2arccosx powinien być minus czy nie?

Magda: alfa czyli jak w końcu, teraz znowu jest w mianowniku bez uzycia woru skróconego mnozenia, to jak w końcu to zostawić?

alfa:

	−3x2+6
lub tak:...=
	4+4x2+x4

alfa: przy wielomianach nie potrzeba mianownika rozpisywac, ale to zależy, co kto potrzebuje do dalszych obliczeń:0 lepiej chyba zastosowac ten wzór i pisac bez nawiasów

alfa: trzecie dobrze

alfa: już rozpisuję

Magda: ten przykład akurat potrzebny mi jest do wyliczenia ekstremum funkcji czyli przyrównując pierwsza pochodną do 0 i tak opuszczam mianownik bo mnoże całosc przez mianownik² i wychodzi że 6−3x²= 0 czyli x²=2 czyli x= √2 lub x=−√2

alfa: ..=4sin³x*cosx−4cos³x*(−sinx)

zak: w 2 w ,iczniku bez arc cosx

alfa: ten −sinx w nawiasie, to pochodna funkcji wewnętrznej, czyli cosinusa

alfa: tak, licznik przyrównujesz do zera, a o mianowniku pamiętasz tyle, co założenie, żeby było różny od zera, ale ten jest ,więc nie ma więcej zastrzeżeń

Magda: dobra 3 przykład już rozumiem poch. .... −(4cos³x*−sinx)= +4cos³x *sinx czyli w tym pierwszym zostawić ten mianownik bez nawiasów, zresztą i tak to nic nie zmieni, bo opuszczamy mianownik a w 2) co jest źle?

Jack: zjadłaś jeden minus... pochodna z −(arccos²)'=...

alfa: po pierwsze to tam faktycznie powinno byc...*(−2arccosx)

alfa: właśnie, dzięki Jack

Magda: a nie jednak w 3 źle zapisałam mylą mi się znaki czy brac pochodną od całości łacznie ze znakiem przed czy tylko od cos⁴x

Jack: zawsze ze znakiem, Magdo.

Magda: czyli w tym 2) biorę pochodną tak jak napisał Jack od całości razem ze znakiem przed czyli jak jest 1−(arccosx)²

	−1
y'= −2arccosx *
	√1−x2

przy pochodnej różnicy uwzględniam minus przed, bo to jest jak 0 − .... a przy samym arccosx liczę pochodna tylko dla arccosx z nawiasu, tylko to co jest w nawiasie a nie uwzględniam tego minusa przed tak, bo arccosx jest w nawiasie strasznie mylą mi się te znaki

Magda: czyli jesli biorę razem ze znakiem to powinno być

	−1
y'= −2arccosx * −
	√1−x2

tak powinno byc

Jack: za dużo tych minusów... pochodna arccos x już bez minusa liczysz. MINUS stoi przed kwadratem dlatego teraz Cię już nie interesuje (wnikasz w głąb nawiasu).

alfa: o jeden minus za dużo i czy aby nie powinno jeszcze byc pochodnej funkcji wewnętrznej, czyli cosinusa

Magda: czyli teraz liczę pochodna tylko arccosx bo to jest złożenie fukcji czyli tylko to co jest w nawiasie czyli bez tego minusa przed ułamkiem czyli jest błąd w odpowiedziach w książce bo końcowo powinno wyjść:

	arccosx
−
	(1−(arccosx)2) √1−x2

a wyjdzie bez tego minusa przed ułamkiem czyli jakby był ten arccosx bez nawiasu to wtedy liczyłabym pochodną samego arccosx razem z tym minusem

alfa: nie no chyba przesadziłam, rozpędziłam się, przepraszam

Jack: arccosx to juz funkcja z której pochodną podajemy z tabelki wiec nie musimy, alfa. Tak, Magdo, tak byś liczyła. A nawet dokładniej, liczyłabyś pochodną (1−arccosx), czyli całego wyrażenia pod pierwiastkiem. Nie powinno być tego minusa w odpowiedzi... Chyba że moze przed całym pierwiastkiem stoi

Magda: minus stoi przed całym ułamkiem czyli powinien być, czy nie a co z tym : y=sin⁴x−cos⁴x y'= 4sin³x*cosx−4cos³x* sinx czy źle bo ktos policzył mi to inaczej, y'= 4sin3x*cosx+ 4cos³x*sinx i nie wiem skąd wzial sie plus przed ciągle mylą mi się znaki tu znowu biorę pochodna razem ze znakiem tak Jack możesz to rozpisać proszę

alfa: Tak, bez tego minusa z przodu. Zorientowałam się, że ze wzoru Jack

Jack: rety... idę na obiad Przeanalizuj przykłady w zakładkach − naprawdę są pomocne. Moze to coś podpowie: stałą (np. −1) można wyciągnąc przed znak pochodnej. W tym z sin⁴x−cos⁴x masz błąd, ponieważ: raz że przed cosx stoi minus, a dwa, że (cos)'=−sinx. Czyli w sumie masz dwa minusy.

Jack: ok, alfa, bez odbioru

alfa: 4sin3x*cosx−4cos3x*(−sinx)

alfa: myślałam, że widzisz, że: −4cos3x razy −sinx daje po pomnożeniu znak plus

alfa: a −sinx to pochodna funkcji cosinus