Wykazac Kasia: Wykazać ze równanie ma dokładnie jedno rozwiazanie w przedziale (0,1) x³+6x−2=0

Andrzej: pochodna funkcji x³+6x−2 jest równa 3x²+6, czyli jest zawsze dodatnia, czyli funkcja jest rosnąca − a to oznacza że może mieć tylko jedno miejsce zerowe f(0) = −2 f(1) = 5 czyli to jedyne miejsce zerowe jest gdzieś między zerem a jedynką.

Kasia: Ale jak to udowodnić?

Andrzej: O matko, przecież właśnie to jest dowód.

Jack: funkcja wielomiana jest ciagła na odcinku <a,b> oraz dla f(a)>0 i f(b)<0, zatem z własności Darboux istnieje taki punkt c∊<a,b>, że f(c)=0...

Jack: /funkcja wielomianowa

Basia: f(x) = x³+6x−2 f(0) = −2 f(1) = 5 f(x) = x³+6x−2 jest funkcją ciągłą zatem w przedziale (0,1) musi przyjmować wartość 0 czyli równanie x³+6x−2 = 0 ma w tym przedziale rozwiązanie f'(x)=3x²+6 > 0 (stale) ⇒ f(x) jest f.stale rosnącą ⇒ wartość 0 przyjmuje raz i tylko raz czyli równanie x³+6x−2=0 ma jedno i tylko jedno rozwiązanie należące do (0,1) a więc także do <0,1>

bubu: αβπ⇔⇒