Wyznacz punkt symetryczny do punktu M (1,0,-1) względem płaszczyzny : x+2y+3z-5= Paulina: Wyznacz punkt symetryczny do punktu M = (1,0,−1) względem płaszczyzny : x+2y+3z−5=0

AS: Prosta prostopadła do pładzczyzny i przechofząca przez punkt M

x − 1		y		z + 1
	=		=
1		2		3

a w postaci parametrycznej x = 1 + t , y = 2*t , z = −1 + 3*t Wstawiam do równania płaszczyzny,by znaleźć t 1 + t + 2*(2*t) + 3*(−1 + 3*t) − 5 = 0 => t = 1/2 Punkt wspólny prostej prostopadłej z płaszczyzną daną x = 1 + 1/2 = 3/2 , y = 2*1/2 = 1 , z = −1 + 3*1/2 = 1/2 W = (3/2,1,1/2) Wyznaczam punkt symetrycznie położony

1 + xs		3
	=		=> xs = 2
2		2

Podobnie następne. Odp. S(2,2,2)

Paulina: Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć od tego momentu ze wyznaczam punkt symetrycznie położony?

AS: Wykorzystaj wzór na środek odcinka A(a,b) , B(c,d)

	a + b		c + d
Środek S = (		,		)
	2		2

Paulina: Teraz to już totalnie nie wiem skąd się wzięło to U 0{1+xs}{2}

Paulina:

	1+xs
Teraz to już totalnie nie wiem skąd się wzięło to		bo jak chce obliczać następne
	2

współrzędne to mi nie wychodzi od 2,2,2 tylko 2,1,1

AS: M − punkt dany w zadaniu W − punkt wspólny prostej prostopadłej z płaszczyzną S − szukany punkt symetrycznie położony M(1,0,−1) W(3/2,1,1/2) S(xs,ys,zs) (szukane) o −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−o −−−−−−−−−−−−−−−−−−−o W jest środkiem odcinka MS Stąd na mocy wzoru na środek odcinka mamy

1 + xs		3
	=		=> sx = 2
2		2

0 + ys
	= 1 => ys = 2
2

−1 + zs		1
	=		=> zs = 2
2		2

AS: Korekta do wzoru na środek

	a + c		b + d
Środek S =		,		)
	2		2

Kacper: Można też zamiast wykorzystywać wzór na środek odcinka skorzystać z równości wektorów MW i WM'. \vec{MW}=\vec{WM'} − nie ma tu Tex, ale tak to powinno być zapisane. Pozdrawiam!