rozwiąż nierówność Wojteczek: log_x(x³ + 1)log_x+1(x)>2

Grześ: Dziedzina: x∊(0,+∞) Sprowadzamy do tej samej postawy:

	logxx
logx(x3+1)*		>2
	logx(x+1)

	1
logx(x3+1)*		>2
	logx(x+1)

logx(x3+1)
	>2
logx(x+1)

log_x+1(x³+1)>2 log_x+1(x³+1)>log_x+1(x+1)² Podstawa jest zawsze większa od 1 zgodnie z dziedzina, więc odpuszamy logarytm bez zmiany znaku nierówności: x³+1>(x+1)² x³+1>x²+2x+1 x³−x²−2x>0 x(x²−x−2)>0 x(x−2)(x+1)>0 Zgodnie z dziedziną x∊(0,+∞), więc możemy opuścić wyrażenie "x": (x−2)(x+1)>0 Teraz to rozwiąż

Godzio: x > 0 x³ + 1 > 0 x + 1 > 0 x ≠ 1 x + 1 ≠ 1 określ dzidzinę log_x(x³ + 1) = log_x(x + 1) + log_x(x² − x + 1) =

	1		logx + 1(x2 − x + 1)
=		+
	logx + 1x		logx + 1x

	1		logx + 1(x2 − x + 1)
(		+		)logx + 1(x) > 2
	logx + 1x		logx + 1x

1 + log_{x + 1}(x² − x + 1) > 2 log_{x + 1}(x² − x + 1) > 1 log_{x + 1}(x² − x + 1) > log_{x + 1}(x + 1) 1^o 0 < x + 1 < 1 x² − x + 1 < x + 1 dokończ ... 1^o 1 < x + 1 x² − x + 1 > x + 1 to także dokończ, i podaj rozwiązanie

Grześ: Godzio.... zgodnie z dziedziną nie trzeba rozpatrywać przypadku z podstawy logarytmu, nie miałes określonej dziedziny, więc tego nie zauważyłeś. Oczywiście pozdrawiam, chyba troszkę dłuższe masz przekształcenia

Wojteczek: Dzieki wielkie ale co do dziedziny to x>1 bo x³+1>0

Godzio: Sprawdź dziedzinę, bo z dziedziny nie jest x > 1

Godzio: x³ + 1 > 0 ⇒ x > − 1

Grześ: wiem, że nie jest, ale w podstawie masz x+1 dziedzina to x>0 więc x+1>1 Widzisz Godzio

Godzio: Nie

Wojteczek: faktycznie moj błąd x>0 racja

Godzio: a dobra