granica Maciek: Zbadać czy istnieje następująca granica jeśli tak obliczyć ją:

	a
lim n−>∞ 2n sin
	2n

Basia: czy znasz już twierdzenie, które mówi, że

	sin(bn)
limbn→0		= 1 ?
	bn

Maciek: Pierwszy raz widzę, w czym miało by mi to pomóc ?

Basia: pomogłoby bardzo

	a
bn =
	2n

dla a≠0 b_n→0

	a
2n =
	bb

i masz po podstawieniu

a		sin(bn)
	sin(bn) = a*		czyli dokładnie to co w twierdzeniu
bn		bn

lim a_n = a*1 = a dla a=0 a_n=0 bo sin0=0 a_n → 0 muszę pomyśleć jak to zrobić inaczej

Maciek: Nigdy nie mieliśmy takich rozwiązań więc jakbyś miała inny sposób to byłbym wdzięczny

Basia: a znasz chociaż taką nierówność ? sinx < x < tgx bez jej zastosowania nie potrafię tego udowodnić

Basia:

	a
a>0 ⇒		>0 ⇒
	2n

	a		a
0<sin		<		⇒
	2n		2n

	a		a
2n*0< 2n*sin		< 2n*
	2n		2n

	a
0 < 2n*sin		<a
	2n

czyli ciąg jest ograniczony z góry i z dołu

	a
a<0 ⇒		<0 ⇒
	2n

	a		a
0> sin		>
	2n		2n

	a		a
2n*0 > 2n*sin		> 2n*
	2n		2n

	a
0 > 2n*sin		>a
	2n

czyli ciąg jest ograniczony z góry i z dołu

	a		a
an = 2nsin		= 2n*sin(2*		)
	2n		2*2n

	a
an+1 = 2n+1*sinU{a}{2n+1 = 2*2n*sin
	2*2n

stąd a_n+1−a_n =

	a		a
2*2n*sin		−2n*sin(2*		) =
	2*2n		2*2n

	a		a		a
2*2n*sin		−2n*2sin		*cos		=
	2*2n		2*2n		2*2n

	a		a
2*2n*sin		*[ 1−cos		]
	2*2n		2*2n

	a
1− cos		> 0 dla każdego a≠0
	2*2n

a> 0 ⇒ a_n+1−a_n>0 a<0 ⇒ a_n+1−a_n<0 czyli a>0 ⇒ ciąg jest rosnący i ograniczony ⇒ jest zbieżny a<0 ⇒ ciąg jest malejący i ograniczony ⇒ jest zbieżny