wyznaczyc ekstrema funkcji f(x,y) studentka: f(x,y)=x⁴+1/3y³-2x²-y²-3y

Basia: f'_x = 4x³ - 4x f'_y = y² - 2y -3 f'(x) =0 ⇔ 4x³ -4x =0 ⇔ 4x(x² -1) =0 ⇔ x=0 lub x=-1 lub x=1 f'(y) =0 ⇔ y² -2y - 3 =0 Δ = 4 + 12 =16 √Δ =4 y₁ = (2-4)/2 = -1 y₂ = (2+4)/2 =3 czyli ewentualne ekstrema mogą być w punktach: (-1, -1) (-1,3) (0,-1) (0,3) (1,-1) (1,3) cd. za chwilę

Basia: f"_xx = 12x² -4 f"_xy = 0 f"{yx} = 0 f"{yy} = 2y -2 W = (12x²-4)(2y-2) - 0*0 = 8(3x² -1)(y-1) W(-1,-1) = 8(3 -1)(-1-1) = 8*2*(-2) < 0 nie ma w tym punkcie ekstremum W(-1,3) = 8(3-1)(3-1) = 8*2*2 >0 tu będzie ekstremum f"_xx(-1,3) = 12 -4 =8 > 0 czyli mamy minimum lokalne W(0,-1) = 8*(-1)*(-2) = 16 > 0 tu też będzie ekstremum f"_xx(0,-1) = -4<0 czyli mamy maksimum lokalne W(0,3) = 8*(-1)*2 = -16 <0 tu nie ma ekstremum W(1,-1) = 8*2*(-2) < 0 tu też nie ma ekstremum W(1,3) = 8*3*2 = 48> 0 tu będzie ekstremum f"_xx(1,3) = 12 -4 =8 > 0 czyli mamy minimum lokalne

Vlad: −x²+6x−xy−y²+9y