ciekawe równanie wykładniczo-logarytmiczne! kasja: hejka...ciekawa jestem czy potraficie to rozwiązać Czy równanie 2^-x2=log(x+10) ma rozwiązanie? Określ również dziedzinę równania. Pozdrawiam

Marcin: no napewno x=0

kasja: No tak 1=1 any ideas

Marcin: tylko 0

Marcin: mozna dojsc do postaci 10 = (x+10)^2x2

kasja: poczekaj spróbuje to wrzucić w kalkulator graficzny i jakby co PrintScrn wyśle tutaj

kasja: ehh...ni da rady...ale zauważyłam, że jak szukam pkt. wspólnych tych dwóch funkcji to wychodzi x=0, y=1...ale jak to algebraicznie wytłumaczyć? a co z dziedziną?

Marcin: dziedzina to x+10>0 czyli x>-10

Marcin: na pytanie czy ma rozw mowisz tak i podajesz 0

kasja: czyli gdyby nie dziedzina, bo x>-10 to równanie miałoby drugie rozwiązanie x=-10, bo dziedzina dla 2^-x2 jest |R, prawda?

Marcin: ale -10 nie pasuje

Basia: f(x)=log(x+10) jest funkcją rosnącą g(x)=2^-x2 jest funkcją malejącą jak zauważyliście f(0)=g(0)=1 stąd dla x∈(-10,0) f(x)<1 a g(x)>1 dla x∈(0;+∞) f(x)>1 a g(x)<1 czyli żadnego innego rozwiązania to równanie mieć nie może

kajko: Dziękuje za dodatkowe informacje, ale niestety nie zgadzam się z faktem, że dla x∈(-10,0) f(x)<1, a g(x)>1 a dokładniej jeżeli chodzi o położenie funkcji g względem 1. Wg mnie powinno być: dla x∈(-10,0) f(x)<1, a g(x)<1, bo funkcja g nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie (rosnąca dla x∈(-10,0), malejąca dla x∈(0;+∞)). Co do drugiego przedziału- jest OK! Jeżeli się mylę proszę o wyjaśnienie dlaczego ?! Pozdrawiam

Mickej: jak sie nie zgadzasz to masz pecha

kajko: powiedział co wiedział...pomyliłeś fora kolego...to nie PUDELEK!

Bogdan: Zwracam uwagę, że funkcja g(x) jest parzysta, czyli g(-x) = g(x)

kajko: Tak jest wykres funkcji g jest symetryczny względem osi y...jakieś konkretne wnioski z tego płyną?Ehh...

b.: Wygląda na to, że się Basia pomyliła: rzeczywiście jak pisze kajko, dla x∈(-10,0) f(x)<1, a g(x)<1 będzie jeszcze jedno rozwiązanie ok. -9 że co najmniej jedno rozwiązanie będzie, to dość łatwo zauważyć: f(-2) = log(8) > 0,5 = 2^-1 > 2^-4 = 2^-(-2)2=g(-2) a f(-9) = log(1) = 0 < g(-9) więc z tw. Darboux jakieś dodatkowe rozwiązanie (co najmniej jedno) będzie

b.: z rysunku widać, że funkcja h = f-g jest rosnąca na (-10, -4) co najmniej, a na (-4,0) jest ściśle dodatnia => rozwiązania są dokładnie dwa pozostaje tylko jakoś uzasadnić to co widać z rysunku

b.: Przy okazji zareklamuję fajne narzędzie do rysowania wykresów w przeglądarce: http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm jak się wpisze tam ln(x+10)/ln(10); 2^(-x^2) i zmieni przedział x od -10, to bardzo ładnie widać te 2 rozwiązania :)

kajko: no właśnie miałem Cię pytać skąd pomysł z -9 ja akurat dysponuje kalkulatorem graficznym i po próbach "zzumowania" miejsca zetknięcia się tych dwóch funkcji otrzymuje x=-9 co jak najbardziej należy do przedziału (-10, 0)....a swoją drogą już wskakuje na tą stronkę ps. looknij na forum tak wieczorkiem, może jakieś inne refleksje przyjdą mi na myśl to się podziele, a Ty je zweryfikujesz...pozdro...naprawdę dobra robota!

kajko: jakoś nie bardzo wiem jak to uzyskać: "funkcja h = f-g jest rosnąca na (-10, -4) co najmniej, a na (-4,0) jest ściśle dodatnia => rozwiązania są dokładnie dwa pozostaje tylko jakoś uzasadnić to co widać z rysunku" mała instrukcja?

kajko: ok...wystarczy prześledzić kursorem

b.: no wiesz, np. że jest rosnąca można próbować uzasadniać licząc pochodną (f-g)'(x) = 1/(ln2*(10+x)) - 2^-x2*ln2*(-2x) = = 1/(ln2(10+x)) + 2xln2 * 2^-x2 no i teraz tak: gdy x∈(-10,-4), to 1/(ln2(10+x)) > 1/(6ln2) > 1/4 natomiast 2ln2 * 2^-x2 < 2ln2 * 2^-16, czyli 2xln2 * 2^-x2 > -4*2ln2 * 2^-16 > -1/4, czyli (f-g)'(x) > 0 dla tych x, czyli f-g jest rosnąca. zapewne można szacować lepiej i dostać nieco większy przedział no a to drugie, dla x∈(-4,0) (f-g)(x) = log(10+x) - 2^-x2 = 1 + log(1+x/10) - 2^-x2 no i tutaj nie widzę w tej chwili jak - może jednak trzeba szacować na mnieszym przedziale, np. (-3,-1), a na (-1,0) pokazać, że jest malejąca różnie można kombinować, ale niezbyt lubię takie szacowania... - w każdym razie to się da zrobić

kajko: Siema b. Twoja dociekliwość imponuje Wszystko dokładnie rozumiem co napisałeś tylko pochodna chyba jakaś takaś chyba nie dobra bo (f-g)'(x) = 1/(ln10*(10+x)) - 2^-x2*ln2*(-2x) = 1/(ln10(10+x)) + 2xln2 * 2^-x2 i dalej git. Ale nie rozumiem dlaczego nie liczyłeś po pochodnej względem drugiego przedziału, tylko wyciągnąłeś 10! Chyba wystarczy jak podstawisz -1 do (f-g)'(x) i wyjdzie gdzieś z -3/5, a więc całą pochodna (f-g)'(x)<0, czyli funkcja f-g jest malejąca na tym przedziale Możesz mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego "funkcja h = f-g jest rosnąca na (-10, -4) co najmniej, a na (-4,0) jest ściśle dodatnia to => rozwiązania są dokładnie dwa"? Nie bardzo rozumiem Pozdro!

b.: Oczywiście masz rację: zasugerowałem się podstawą 2 w drugim składniku, a w pierwszym jest log₁₀, więc wyskoczy ln10, jak napisałeś. Trochę to zmienia oszacowania (1/(6ln10) > 1/14, a nie 1/4), ale chyba dalej na (-10,-4) da radę (choć trzeba co nieco pozmieniać). "funkcja h = f-g jest rosnąca na (-10, -4) co najmniej, a na (-4,0) jest ściśle dodatnia to => rozwiązania są dokładnie dwa" No masz rację znowu, tylko z tego co napisałem to nie wynika. Ale wcześniej sprawdziliśmy, że h(-9) < 0 więc jeśli h(-4)>0, to mamy rozwiązanie na (-9,-4). Z monotoniczności na (-10,-4) jest ono jedyne (na (-10,-4)), a z dodatniości h na (-4,0) tam nie ma żadnych rozwiązań. Niestety, nie pokazaliśmy tej dodatniości -- to może być trudne na (-4,0) (a ściślej w pobliżu 0), dlatego sądzę, że może być łatwiej tak: 1. pokazać dodatniość na (-4, a) dla jakiegoś a<0 (możliwie bliskiego 0) 2. pokazać, że h maleje na (a,0). Ponieważ h(0)=0, to z 1. i 2. wyniknie, że h nie ma miejsc zerowych na (-4,0).

kajko: No i masz Ci los! Nie daje mi spokoju to zadanie, wpisałem jeszcze raz wszystko od nowa do kalk. i okazało się, że funkcja h ma TRZY rozwiązania: x1=-9, x2=-0.629 i x3=0. Tylko jak to cholerstwo uzasadnić? Poprzez badanie znaku pochodnej? Pytanie podstawowe ... jak uzasadnić istnienie tych trzech pierwiastków, czyżby podstawiając je znów pod równanie wyjściowe i sp czy L=P? Boshe! Bo algebraicznie się po prostu NIE DA! Może ktoś pomoże?

kajko: podbijam może jednak...