Zadanie na indukcję matematyczną. Podzielność przez 10. kaczy: Stosują zasadę indukcji matematycznej udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 2²ⁿ− 6 jest podzielna przez 10.

Vax: Rozumiem, że należy to wykazać dla n>1, łatwiej to udowodnić nie korzystając z indukcji, mamy wykazać: 2²ⁿ == 6 (mod 10) Co jest równoważne: { 2²ⁿ == 6 (mod 2) { 2²ⁿ == 6 == 1 (mod 5) 1 kongruencja jest oczywiście prawdziwa, w drugiej korzystając z Twierdzenia Eulera mamy: 2⁴ == 1 (mod 5) Oczywiście 2ⁿ dla n>1 jest liczbą podzielną przez 4, więc naszą kongruencje możemy podnieść do pewnej potęgi otrzymując: 2²ⁿ == 1 (mod 5) qed. Pozdrawiam.

rączszka: { 2²ⁿ == 6 (mod 2) { 2²ⁿ == 6 == 1 (mod 5) Hmm skąd Ci się wziął ten układ? Tak z ciekawości pytam

Vax: Wynika on z Chińskiego Twierdzenia o resztach, jeżeli mamy kongruencje: a == b (mod m*n) gdzie NWD(m,n)=1 to jest ona równoważna: {a==b (mod m) {a==b (mod n) Pozdrawiam

rączszka: Dobra, widzę że muszę się podszkolić, bo nie mam pojęcia co to jest chińskie twierdzenie o resztach Trochę masakra

Jack: bo to tw. z pewnością nie z poziomu szkoły średniej MOżesz spróbować udowodnić standardowo − może się uda

rączszka: No właśnie ja już na 1 roku studiów i pierwszy raz słyszę o takim twierdzeniu Ale spróbuję to indukcyjnie, jak mi coś wyjdzie to wrzucę.

Jack: hmm pewnie lada moment usłyszysz − ja to miałem na II sem. logiki (przy klasach równoważności)

Vax: Nie przejmuj się nazwą, ja uczęszczam do 2 klasy gimnazjum i je zrozumiałem, więc spokojnie Pozdrawiam.

rączszka: Vax, naprawdę chodzisz do 2 gimnazjum? Aż mi się nie chce wierzyć

rączszka: Coś mi tu chyba nie pasuje.. Jak sprawdzam indukcyjnie dla n=1, to jest 2²ⁿ−6=10 a, czyli 2²−6=10a −2=10a

	1
a=−
	5

A chyba a powinno być liczbą naturalną

Vax: Dlatego zauważ, że napisałem w swoim pierwszym poście, że raczej chodziło o wykazanie tego dla n>1 Pozdrawiam.

rączszka: No właśnie, bo coś mi tu nie pasowało W każdym razie przy założeniu 2²ⁿ−6=10 a dla n+1 mamy: 2²ⁿ⁺¹−6=2^2n*2−6=(2²ⁿ)²−6 = = (2²ⁿ−√6)(2²ⁿ+√6) = (10a−6−√6)(10a−6+√6)= = (10a−6)²−6 = 100a²−120a+36−6 = 100a²−120a+30 a to widać, że dzieli się przez 10 Mam nadzieję, że nie piszę samych bzdur