ciągi rovni: znajdź wzór ogólny ciągu okreslonego rekurencyjnie

⎧	a1=0
⎩	an+1 = n2 + an dla n≥1

⎧	b1=1
⎩	bn − bn−1 = 3n +1 dla n≥2

⎧	c1 = 12
⎩	cn − cn−1 = n −1 dla n≥2

think: zrobię przykład b) b₁ = 1 b_n − b_n−1 = 3n + 1 ==> b_n = b_n−1 + 3n + 1 czyli b₂ = b₁ + 3*2 + 1 = 1 + 6 + 1 = 8 b₃ = b₂ + 3*3 + 1 = 8 + 9 + 1 = 18 b₄ = b₃ + 3*4 + 1 = 18 + 12 + 1 = 31 b₅ = b₄ + 3*5 + 1 = 31 + 15 + 1 = 47 tyle wyrazów wystarczy i mamy taki ciąg 1, 8, 18, 31, 47,... teraz musimy do tych liczb dopasować jakiś wzór.... sprawdzamy wśród wzorów liniowych an + b (dla n = 1) b₁ = a + b === 1 (dla n = 2) b₂ = 2a + b === 8 wyjdzie jakieś a i b i okaże się, że nie generuje ono nam pozostałych rozwiązań. sprawdzamy wśród wzorów kwadratowych an² + bn + c (n = 1) b₁ = a*1² + b*1 + c === 1 (n = 2) b₂ = a*2² + b*2 + c === 8 (n = 3) b₃ = a*3³ + b*3 + c === 18 rozwiązanie tego układu da już wzór ogólny ciągu pozostałe przypadki analogicznie.

Godzio:

	0		1 * (1 − 1)
a1 =		=
	2		4

	1		2(2 − 1)
a2 =		=
	2		4

	3		3(3 − 1)
a3 =		=
	2		4

	6
a4 =
	2

	n(n − 1)
an =
	4

Kombinuj z następnymi tu o nic innego nie chodzi niż o wykombinowanie tego wzoru

Antek: x_n=5x_n−1−4x_x−2

Antek: Znajdź wyraz ogólny ciągu rekurencyjnego:

Mila: x_n=5x_n−1−4x_n−2 Warunki początkowe są?

Mariusz: X(t)=∑_n=0^∞x_ntⁿ ∑_n=2^∞x_ntⁿ=∑_n=2^∞5x_n−1tⁿ−(∑_n=2^∞4x_n−2tⁿ) ∑_n=2^∞x_ntⁿ=5t(∑_n=2^∞x_n−1tⁿ⁻¹)−4t²(∑_n=2^∞x_n−2tⁿ⁻²) ∑_n=2^∞x_ntⁿ=5t(∑_n=1^∞x_ntⁿ)−4t²(∑_n=0^∞x_ntⁿ) ∑_n=0^∞x_ntⁿ−x₀−x₁t=5t(∑_n=0^∞x_ntⁿ−x₀)−4t²(∑_n=0^∞x_ntⁿ) X(t)(1−5t+4t²)=x₀+x₁t−5x₀t X(t)(1−5t+4t²)=x₀+(x₁−5x₀)t

	x0+(x1−5x0)t
X(t)=
	1−5t+4t2

	x0+(x1−5x0)t
X(t)=
	(1−t)(1−4t)

	A		B
X(t)=		+
	1−t		1−4t

A−4At+B−Bt=x₀+(x₁−5x₀)t A+B=x₀ −4A−B=x₁−5x₀ −3A=x₁−4x₀

	1
A=		(4x0−x1)
	3

4A+4B=4x₀ −4A−B=x₁−5x₀ 3B=x₁−x₀

	1
B=		(x1−x0)
	3

	A		B
X(t)=		+
	1−t		1−4t

	1		1
X(t)=		(4x0−x1)∑n=0∞(tn)+		(x1−x0)∑n=0∞(4ntn)
	3		3

	1		1
X(t)=∑n=0∞(		(4x0−x1)+		(x1−x0)4n)tn
	3		3

	1		1
xn=		(4x0−x1)+		(x1−x0)4n
	3		3

kerajs: ciągi z 8:43 W każdym równanie charakterystyczne to r=1 więc w każdym przewiduje się wzór ogólny: x_n=An²+Bn+C Wstawienie trzech wartości początkowych pozwoli na wyliczenie współczynników A,B i C ciąg z 13:57 r²=5r−4 r=1 ⋁ r=4 x_n=A1ⁿ+B4ⁿ Układ x₀=A+B ⋁ x₁=A+4B wylicza współczynniki A i B.

Mariusz: Funkcje tworzące (zwykła czyli geometryczna oraz wykładnicza) nie dość że są wygodniejsze w użyciu (nie trzeba zgadywać postaci rozwiązania równania jednorodnego i równania niejednorodnego) to i więcej równań można rozwiązać z ich użyciem

Mariusz: Mądralo nie zauważyłeś że ciąg z 8:43 ma już 10 lat ?

kerajs: Ad 18:18 Niestety funkcje tworzące mają też istotne wady, które skwapliwie pomijasz. I bynajmniej nie jest to czasochłonność, choć tę akurat każdy widzi. W metodzie przewidywania wzoru ogólnego się nie zgaduje (!), lecz przewiduje według określonych reguł. Wymaga ona mniej liczenia i mniej wiedzy niż przy funkcjach tworzących. I co istotne, dużo trudniej o pomyłkę. Ad 18:20 Nie, nie zauważyłem. U mnie format wyświetlania daty tego postu to 15 sty 08:43 . Pomijając tę kwestię, to jaki masz z tym problem?

Mariusz: Tak to rozwiąż tą metodą równanie na liczby Catalana albo inne ciekawe równania rekurencyjne Nie zgadywanie to jak wytłumaczysz to że przewidywań uczysz się na pamięć ? Po skorzystaniu z funkcji tworzących postać rozwiązania równania liniowego o stałych współczynnikach wychodzi z sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych Jakie wady no szereg musi być zbieżny w pewnym otoczeniu zera no ale promień zbieżności nie jest aż taki ważny byle był różny od zera Re Ad 18:20 Ja nie mam problemu z tym ale i tak już nikt nie skorzysta z twojej odpowiedzi Swoją drogą najszybciej byłoby rozwiązać tamte rekurencje przez zsumowanie części niejednorodnej

kerajs: 1. ''Tak to rozwiąż tą metodą równanie na liczby Catalana albo inne ciekawe równania rekurencyjne'' A po co? Tu mamy konkretne równanie, i tylko o metodach jego rozwiązania jest sens rozmawiać. 2. "Nie zgadywanie to jak wytłumaczysz to że przewidywań uczysz się na pamięć ?' Sam sobie przeczysz. Zgadywania nie da się nauczyć na pamięć. Ale reguł przewidywania to i owszem, można. 3 ''Jakie wady no szereg musi być zbieżny w pewnym otoczeniu zera no ale promień zbieżności nie jest aż taki ważny byle był różny od zera'' No, ale wpierw ustalić ten szereg, no i go przekształcać, no i nagle się go pozbyć, no i znowu coś tam robić,, a potem znowu szereg ... Faktycznie, łatwizna. I co najważniejsze, nic nie trzeba pamiętać! 4 ''ale i tak już nikt nie skorzysta z twojej odpowiedzi '' Liczę się z tym i dlatego tu nie piszę dłuższych postów. Oczywiście z wyjątkiem naszych konwersacji. 5 ''Swoją drogą najszybciej byłoby rozwiązać tamte rekurencje przez zsumowanie części niejednorodnej'' A fe! Zgadywanie jest takie nieprofesjonalne.

Mariusz: Dziś Antek ma to równanie a jutro może mieć inne równanie do rozwiązania Podałeś mu sposób działający tylko na równania liniowe o stałych współczynnikach i w dodatku wymagający zapamiętywania sposobu przewidywania bez uzasadnienia Jeśli już chcemy się ograniczyć do metod działających tylko na równania liniowe o stałych współczynnikach to jest jeszcze metoda analogiczna do równań różniczkowych Równanie jednorodne rozwiązujemy przekształcając je w układ równań a rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy uzmienniając stałe Tylko że tutaj możemy mieć jeszcze więcej liczenia niż w przypadku funkcji tworzących no i powinniśmy znać jakieś rozkłady macierzy ułatwiające jej potęgowanie oraz jakieś podstawy rachunku różnicowego Liczby Catalana są przykładem że korzystając z funkcji tworzącej można więcej rekurencji rozwiązać niż tym co podałeś Dla mnie to jedno zapamiętujesz te przewidywanie bez uzasadnienia przez co łatwo te przewidywania zapomnieć a w przypadku funkcji tworzących rozwiązanie samo wychodzi W równaniach liniowych o stałych współczynnikach rozwiązanie dostajemy z sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych W innych równaniach tak jak np w równaniu na liczby Catalana korzystamy z dwumianu Newtona aby rozwinąć funkcję tworzącą w szereg a jeszcze w innych przypadkach obliczamy n. pochodną funkcji tworzącej Tak właściwie wątek został odświeżony przez Antka o 18 sty 2021 13:57 I tylko na jego równaniu rekurencyjnym powinniśmy się skupić

kerajs: 6. ''Dziś Antek ma to równanie a jutro może mieć inne równanie do rozwiązania Podałeś mu sposób działający tylko na równania liniowe o stałych współczynnikach i w dodatku wymagający zapamiętywania sposobu przewidywania bez uzasadnienia '' Zgadza się. Jednak tylko ty masz z tym problem. 7. ''Jeśli już chcemy się ograniczyć do metod działających tylko na równania liniowe o stałych współczynnikach to jest jeszcze metoda analogiczna do równań różniczkowych Równanie jednorodne rozwiązujemy przekształcając je w układ równań a rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy uzmienniając stałe Tylko że tutaj możemy mieć jeszcze więcej liczenia niż w przypadku funkcji tworzących no i powinniśmy znać jakieś rozkłady macierzy ułatwiające jej potęgowanie oraz jakieś podstawy rachunku różnicowego'' Lubisz pisać tasiemcowe rozwiązania, więc masz pole do popisu. 8. ''Liczby Catalana są przykładem że korzystając z funkcji tworzącej można więcej rekurencji rozwiązać niż tym co podałeś Dla mnie to jedno zapamiętujesz te przewidywanie bez uzasadnienia przez co łatwo te przewidywania zapomnieć a w przypadku funkcji tworzących rozwiązanie samo wychodzi W równaniach liniowych o stałych współczynnikach rozwiązanie dostajemy z sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych W innych równaniach tak jak np w równaniu na liczby Catalana korzystamy z dwumianu Newtona aby rozwinąć funkcję tworzącą w szereg'' Czyli twierdzisz, iż w metodzie funkcji tworzących nic nie trzeba pamiętać? Nb, skoro tyle piszeszδ o liczbach Catalana to podaj link do ostatniego tematu w którym z nich skorzystałeś.