Prawdopodobieńśtwi Antek:

4 2
	Jak by to rozrysować to będzie ?

1234 1243 1342 1432 3412 4312 Czy o coś innego w tym chodzi ?

ICSP: Ze zbioru 4 elementowego wybierasz dwie pary> Turniej szachowy jest tu dobrym przykładem. Mamy 4 graczy : gracz 1 gracz 2 itd. Każdy musi rozegrać partie z każdym dlatego gracz pierwszy rozegra partie z trzema graczami 1−2 1−3 1−4 Gracz drugi rozegra partie też z 3 z tym że z pierwszym już grał. Dlatego zostały mu już tylko dwie partie 2−3 2−4 Gracz 3 rozegra już tylko z 4 3−4 Gracz 4 rozegrał już z wszystkimi. Więc ostateczne partie to: 1−2 1−3 1−4 2−3 2−4 3−4

ICSP: NIe dwie pary tylko pary.

Trivial:

4 2		4!
	=		= 6.
		2!*(4−2)!

Jest to liczba możliwych do utworzenia podzbiorów dwuelementowych zbioru czteroelementowego, np.: Zbiór: {1, 2, 3, 4} Możemy utworzyć następujące podzbiory dwuelementowe: {1, 2}, {2, 3}, {3, 4} {1, 3}, {1, 4}, {2, 4} Mam nadzieję, że rozjaśniłem.

Trivial: Dodam jeszcze, że w zbiorach kolejność nie ma znaczenia, czyli np.: {1, 2} = {2, 1}

Antek: Rozumie dzięki a np jak by było zadanie na ile sposobów 5 osób może usiąść na 6 miejsc w kinie?

	6 6		6 5		6 4
To bym robił		*		*		itd ?

Antek: jednak nie A ten symbol w ogóle przydał by się w tym zadaniu?

Trivial: Raczej nie?

ICSP: Ilość sposobów... Pierwsza osoba może zająć jedno z 6 miejsc. Druga jedno z 5 bo inna już zajęła miejsce kolejna już tylko 4 bo dwa już są zajęte.

Trivial:

	6!
Wynik to		= 6!.
	1!

Antek: no z zasady mnożenia to proste ale czy tym symbolem jakoś można ? Chce sięgo nauczyć wykorzystywać w zadaniach

Trivial: Ten symbol raczej nie w takich zadaniach.

Antek: A podasz mi jakiś przykłąd zadania bez odpowiedzi i ja postaram się zrobić ? Czy nie bardzo ?

Trivial: Zrób takie: Ile jest możliwości wylosowania co najmniej 8 kierów z talii kart. (Wszystkich kart jest 52, kierów jest 13).

Trivial: Losujemy 10 kart. Zapomniałem dodać.

Antek: Kurde czemu takie trudne na początek Możemy to zadanie zrobić razem krok po kroku?

Trivial: To dam prostsze w takim razie. Losujemy 10 kart z pełnej talii. Ile jest możliwości?

Antek:

52!
	?
42!

Trivial: Miało być z symbolem. To taka wskazówka.

Trivial: Poprawna odpowiedź to:

52 10

Trivial: Ile możemy utworzyć dziesięcioelementowych zbiorów zbioru pięćdziesięciodwuelementowego? Właśnie tyle.

Antek: no masz racje kurde przecież wylosowanie 123.. to to samo co 321...

Antek: Zadasz jeszcze jedno czy raczej nie bardzo ?

Trivial: No dobra. Zwiększamy poziom trudności. Ile jest możliwości wylosowania 10 kierów z talii kart?

Antek: Za szybko poziom zwiększasz Nie wiem czy dobrze

13 10		52 10
	*

Trivial: Dla jasności dodam, że chodziło mi o wylosowanie 10 kierów, gdy losujemy 10 kart (czyli wszystkie mają być kierami). Kierów w talii jest 13. Trzeba wylosować 10 z tych 13 i 0 z pozostałych (pozostałych jest 52 − 13 = 39).

13 10	39 0

Warto zapamiętać, że dla dowolnego n ∊ N₁ zachodzi taka prawidłowość:

n 0		n n
	=		= 1

Czyli to co wyżej możemy zapisać jako:

13 10

Jak masz wątpliwości to pytaj.

Antek: aa chyba już kumam dzięki możesz jechać dalej ? Będę ci wdzięczny

Trivial: No to teraz losujemy 10 kart. Ile jest możliwości wylosowania dokładnie 8 kierów?

Antek:

13 10		44 2
	*		?

Antek:

13 8		44 2
	*

Trivial: Losujemy 8 kierów z 13 i 2 inne karty z pozostałych (39)

13 8	39 2
		.

Trivial: skąd to zagadkowe 44?

Antek: aaa dokładnie 8 kierów to

13 8		39 2
	*

Antek: kumam DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

Antek: Jedziesz bracie dalej zmotywowałeś mnie

Trivial: To teraz: Ile jest możliwości wylosowania w 10 kartach dokładnie 7 pików i 3 trefli?

Antek:

13 7		13 3		39 0
	*		*		= ?

Trivial: Tak. To ostatnie to oczywiście 1 i nie musowo tego pisać, ale w tym wypadku pozostałe karty to nie 39 tylko 52 − 13 − 13 = 26. Jeśli mamy losować 0 czegokolwiek to się raczej tego nie pisze, bo to jest 1.

Antek: no faktycznie bo mają być dokładnie Jeszcze pare zadanek prosze

Trivial: No to następne: Ile jest możliwości wylosowania w 10 kartach 1 pika, 2 kierów, 3 kar i 4 trefli?

Antek:

13 1		13 2		13 3		13 4
	*		*		*		a gdyby było 1 pik 2 kierów i 3 kar to

	13 1		13 2		13 3		11 4
		*		*		*		?

Trivial: A czemu 11? Przecież 52 − 3*13 = 13

Antek: no 13 Poprosze dalej

Trivial: Teraz jesteś gotowy na zadanie pierwsze: Ile jest możliwości wylosowania w 10 kartach co najmniej 8 kierów? Wskazówka: możemy wylosować zarówno 8, 9 lub 10 kierów.

Antek:

13 8		44 2
	*		?

Trivial: Nie?

Trivial: Zobacz na wskazówkę.

Antek:

	13 8
ja to rozumie tak w 8 kierów możemy wylosować na		więc zostaje nam 44 karty w których

	44 2
jest jeszce 5 kierów więc więc pozostałe karty

Trivial: Możemy wylosować 8 kierów i 2 z pozostałych, 9 kierów i jedną z pozostałych 10 kierów i 0 z pozostałych.

Trivial: Pozostałe to 39, a nie zagadkowe 44.

patiqq: Sorry że się wtrącam..... To są z matmy zadania

Antek: 44 mi wyszło 52 − 8 kierów

Antek: Niestety z matmy l

patiqq: mam nadzieje że poziom rozszerzony'

Antek: heh to podstawa jest

Antek: też tego do końca nie ogarniam Trivial mi dużo pomaga

patiqq: nie no to już po mnie:

patiqq: szczerze to ja go wogóle nie rozumiem

Antek: dobrze tłumaczy ja to nie rozumiem mojej nauczycielki z maty

Trivial: Antek. Dzielisz karty na dwa zbiory: 13 kierów i 39 pozostałych. Nie ma żadnych kierów w pozostałych.

Antek: Właśnie mi się wydawało że tak się robi tylko w przypadku jak mamy wylosować dokładnie ileś kart bo w pozostałych nie może się znaleść przecież zaden inny kier. Hmm muszę to jeszcze raz sobie przeanalizować

Antek:

	13 8		39 2		13 9		39 1		13 10		13 0
czyli Trivial odpowiedz to		*		+		*		+		*		= ?

Trivial: Tak!

Antek: masz jeszcze czas czy już nie bardzo jak tak to zadał bys coś jeszcze za jakieś 5 min ?

Trivial: Bęben maszyny losującej jest pusty, następuje zwolnienie blokady. Rozpoczynamy losowanie 6 liczb. Wszystkich liczb jest od 1 do 40. Ile jest możliwości wylosowania 5 liczb parzystych i dowolnej ostatniej?

Antek:

20 5		20 1		20 6		20 0
	*		+		*

Trivial:

Trivial: Jak widać kombinatoryka jest prosta.

Antek: jestes the best mistrzu

Trivial:

Antek: Dzięki tobie opanowałem to dziadostwo jak symbol newtona nikt mi nie potrafił tego wytłumaczyć. Przynajmniej narazie się wydaje proste. Daj jeszce pare zadań na potwierdzenie czy faktycznie

Trivial: Wszystkie zadania są raczej analogiczne.

Antek: albo jakiś inny przypadek gdzie sotujemy np wariacje bo z tym też problem

Antek: a np właśnie jak wchodzi w gre prawdopodobieństo symbol newtona ma pewnie zastosowanie prawda ?

Trivial: Prawdopodobieństwo to taka kombinatoryka z ułamkami.

Antek: To daj jakieś jeszcze z wariacjami pls. Kurde ale bym ci brona postawił

Trivial: Ogólnie jest taki wzór:

	|A|
P(A) =
	|Ω|

Oznacza on tyle: Policz wszystkie możliwości sprzyjające zdarzeniu. (A) Policz wszystkie możliwości. (Ω) Podziel.

Trivial: Hmm z wariacjami... To musiałbym chwilę pomyśleć.

Antek: to zadaj coś

Antek: to prawdopodobieństo wariacje sobie odpuścimy

Trivial: Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 8 kierów w 10 kartach?

Antek:

	13 8
P(A)=		?
	52 10

Trivial: Tak.

Antek:

	39 2
jeszcze na górze *

Antek: chyba się pośpieszyłem

Trivial: Tak, właśnie

Trivial:

	39 2
Nie, powinno być na górze

Trivial: To ja się pospieszyłem

Antek: aa nie ok wiem o co choddzi te 2 ostatnie się nie liczą ma być 8 i koniec tak ?

Antek: ok dzięki

Antek: mętlik sobie troche zrobiłem ale przy następnym zsadaniu chyba się rozwieje

Trivial:

	13 8 39 2
P(A) =
	52 10

Pospieszyłem się z tym 'tak'.

Antek: no racja losujemy 10 kart a nie 8

Trivial: Z czego zadanie chcesz?

Trivial: Miałeś dobrze po pierwszej poprawce

Antek: Z prawdopodobieństa i + to mam jeszce pytanie czy symbol newtona zawsze może zastąpić drzewko ?

Trivial: Można drzewkiem, byleby było dobrze. To może takie zadanie. Są trzy wagony i 6 osób. Ile jest możliwości rozmieszczenia tych osób w trzech wagonach? Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoby rozłożą się równo?

Antek: No tego to nie jestem pewien

	6 3
1.

	1
2.P(A)=
	6 3

Trivial: 1. Pierwsza osoba ma 3 wagony do wyboru. Druga osoba ma 3 wagony do wyboru. ... Osób jest 6, czyli: |Ω| = 3⁶. 2. Sprawdzamy ile zbiorów dwuosobowych można utworzyć ze zbioru 6 osób. Jest to:

6 2
	. W pierwszym modelu probabilistycznym kolejność miała znaczenie, w tym nie ma, a więc

musimy te zbiory permutować, czyli:

	6 2		6 2
|A| = 2!*		= 2*		.

	6 2   2*
P(A) =		.
	36

Mam nadzieję, że nie zamieszałem za bardzo.

Antek: Nie źle to jest zrobiłem to innym sposobem ale chciałbym się nauczyć tym symbolem

Antek: aa czyli w 2 wagonach nikogo nie musi być ?

Trivial: Tak.

Trivial: Wiesz o co chodzi z tym permutowaniem i dlaczego było to tutaj potrzebne?

Antek: pytanie mam tylko jeżeli chodzi o Ω= dlaczego wybrałeś 3⁶ po tym co napisałeś pierwsza osoba ma 3 wagony do wyboru to wiem. Ale czemu w taki sposób wnioskowałeś? Czy można jakoś inaczej każdy wagon 6 osób ?

Trivial: Reguła mnożenia, albo wariacje z powtórzeniami. możliwe wybory: 3*3*3*3*3*3 = 3⁶. osoba: 1 2 3 4 5 6

Antek: Ok i jeszcze pytanie z tą permutacja

Antek: nie wiem czemu trzeba to permutować mi wyszło A= {(12),(13),(14),(15),(16) ,(23),(24),(25),(26) ,(34),(35),(36) ,(45),(46) ,(56) }

Trivial: Jeżeli rozpatrujesz każdą osobę z osobna, to znaczy, że kolejność wyboru miała znaczenie. Przy kombinacjach na zbiorach (symbol Newtona) kolejność nie ma znaczenia. Jako, że w każdym wagonie jest po dwie osoby, każdy z tych wagonów trzeba permutować. Czyli mam źle, bo permutowałem tylko jeden. Zamiast 2! powinno być tam (2!)³. Sorry, ale dawno nie miałem prawdopodobieństwa. Teraz powinno już być dobrze.

patiqq: I jak ci antek idzie? już wszystko zrozumiałeś?

Antek: wiem że w każdym wagonie 2 osoby sa np. W pierwszym jest Tadek i Marysia to czy Marysia i Tadek to co innego?

Antek: nie rozumie dlaczego trzeba te osoby permutowaĆ

Trivial: Tak, właśnie dlatego. Kolejność osób miała znaczenie.

Trivial: Spróbuję zrobić bez tego, zobaczymy czy wyjdzie to samo.

Antek: ok

Trivial: Jeszcze jest taka opcja, że wszystko mi się pomyliło i wtedy trzeba będzie wymyślać teorię od nowa.

Eta:

Antek: Eta podgląda kurde Trivial dam ci zadanie jedno zrób je ok i powiedz czy ja też je powinienem zrobić Z urny, w której jest 15 losów, w tym 5 wygrywających, wyciągamy 3 losy. Na ile sposobów można wylosować dokładnie 1 los wygrywający?

patiqq: nie tylko eta

Trivial: To zadanie na symbol.

5 1	10 2

Trivial: A co do tamtego zadania, nie wiem jak rozwiązać to inaczej i nie wiem czy dobrze.

Eta: Dawaj Antek ...... to tak jak z kartami

Antek: Jednak już wiem nie rozwinąłem jednego rozwiązania do końca

Antek: Dajcie mi jeszcze jakieś zadanie chce to umieć do perfekcji

patiqq: Co ty mistrzem chcesz zostać.... Jednego już mamy

Antek: Eta czy mówi ci coś Nazwisko Pysznicka−Kozik ?

Trivial: Eto, dobrze z tymi permutacjami? Bo już sam nie wiem...

Antek: Wiem Trivial męcze cię już siedzisz ze mna już 3 h ponad Daj mi ostatnie zadanie dowolne spróbuje je zrobić nie mussiz dzisiaj odpowiadać

Antek: Trivial mi się wydaje że nie trzeba ich permutować tak na logike to biore

Eta: Z klasy 25 osobowej , w której jest 4 chłopców wybrano 3−osobową delegację do teatru. Ile jest możliwosci wybrania takich delegacji, by w jej skład weszły : a) dokładnie 2 dziewczyny b) 2chłopców i 1 dziewczyna c) co najmniej 3chłopców

Antek: albo w sumie jak Tadeusz i Magda wsiądą do pierwszego wagonu to w 2 i w 3 też mogą się spotkać

Trivial: Już wiem jak będzie! (chyba )

	6 2
|A| = 3*2!*		.

Trivial: Eto? Dobrze jest?

Antek: dobrze jest

Antek:

	21 2	4 1
a)

	4 2	21 1
b)

	4 3	21 0
c)

A to dobrze ?

Trivial: Dobrze.

Antek: Jak ci eta odpowie na twoje pytanie to zadaj mi następne wiem co to znaczy ,,niepewność,, nie da rady zasnąć

Antek: ale zadaj mi z prawdpodobobieńśtwa + coś innego

Trivial: Hmm...

Eta: @ Trivial W/g mnie to 2osoby z 6 "wrzucamy" do pierwszego wagonu 2 z 4 do drugiego i 2 ostatnie już nie mają wyboru zostają w 3 wagonie i z reguły mnożenia

Trivial: W urnie jest: n kulek czarnych 5 kulek białych. Losujemy jedną kulkę.

	4
Dla jakiego n prawdopodobieństwo wylosowania kulki czarnej jest równe		?
	5

Eta: Antek c) źle ..... pomyśl co to znaczy " co najmniej 3 chłopców" i popraw

Trivial: Eta, delegacja jest 3−osobowa.

Antek: no właśnie

Trivial: Eto, Twoim sposobem wychodzi:

	6 2	4 2	2 2
|A| =				= 90.

Moim zamotanym wychodzi:

	6 2
3*2!*		= 90.

Ale nie do końca jestem pewny czy mój sposób jest dobry.

Antek: a jak by było co najwyżej to:

21 3		4 1		21 2		4 2		21 1		4 3
	+		*		+		*		+		?

Eta: Ojj sorry ...... ledwie na oczy patrzę Idę coś słodkiego poszukać

Antek: Ja bym sobie jakieś zadanie rozwiązał

Eta: Można tak, ale jak dalej będziecie się uczyć, to poznasz "zdarzenie przeciwne do A" i będzie mniej obliczeń Narazie, niech tak będzie

Trivial: Antek, zamiast tak rozpisywać, można zauważyć, że nie więcej niż 3 chłopców oznacza to samo co: dowolne 3 osoby z całej klasy.

25 3
	i wyjdzie tyle samo co u ciebie

Trivial: A tak na marginesie temat ma już ok. 150 postów.

Trivial: Jak chcesz zadanie to rozwiąż to co dałem wyżej.

Antek: Jestem z powrotem nie idzcie jeszcze spać już robie

Antek: Trivial jakieś inne zadaj P

Antek: na oko 200 musi być żeby w miare ogarnąc symbol newtona

Trivial: Może jutro. Dzisiaj mi się już nie chce.

Antek: ok to jutro i tak jestem ci bardzo wdzieczny kurde szkoda że sie ferie zaczynają bym szpanował na lekcji <joke> . Ale jutro zaczniemy wariacje ok ?

Trivial: Zobaczymy. Mam miliard zadań z fizyki do ogarnięcia w weekend.

Antek: Ok to olej mam taką książkę która eta kiedyś polecała wszystkim z prawdopodobieństwa i kombinatoryki jeszcze nie tknięta . Najwyżej jak będę miał jakiś problem to napiszę.

Eta: Dla Antka na dobranoc ile różnych słów mających sens lub nie można utworzyć przestawiając liery w słowach: a) ANTEK b) SENNY c) DOBRANOC

Antek: a) 5!

	5!
b)
	2!

	8!
c)
	2!

Dobrze ?

Eta: Superrr

Antek: Jak ci się chce możesz dać jeszcze jakieś z prawdpopodobieństwa jak nie to życzę ci miłej nocy i do popołudnia

Eta: No to typowe zadanko: 1/ Rzucamy dwoma symetrycznymi kostkami do gry jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia : a) suma wyrzuconych oczek jest wielokrotnością liczby 3 b) iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą podzielną przez 5 c) wyrzucono te same liczby oczek 2/ Rzucamy symetryczną kostką i symetryczną monetą jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia: a) wypadł orzeł i liczba oczek będąca liczbą pierwszą b) wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 4 c) wypadła reszka i parzysta liczba oczek powodzenia

Antek: 1. |Ω| = 6² = 36 a) A = {(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)} |A| = 12

	12		1
P(A) =		=
	36		3

b) B = {(1,5),(5,1),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4),(6,5),(5,6)} |B| = 10

	10		5
P(B) =		=
	36		18

c) C = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

	6		1
P(C) =		=
	36		6

2. To bym robił z drzewa, podam tylko odpowiedzi

	1
a)
	4

	1
b)
	2

	1
c)
	4

Antek: Te 2 za pomocą newtona, dobrze ?

	6 1	2 1
|Ω| =			= 12

a)

	1 1	3 1
A =			= 3

	3		1
P(A) =		=
	12		4

b)

	2 1	3 1
B =			= 6

	6
P(B) =		= {1}{2}
	12

c)

	1 1	3 1
C =			= 3

	3		1
P(C) =		=
	12		4

Trivial: 1. b) Najpierw ustawiamy na sztywno pierwszą kostkę i mamy 6 możliwości z drugiej. Potem ustawiamy na sztywno drugą kostkę i mamy 6 możliwości z pierwszej. Ale możliwość (5, 5) policzyliśmy dwa razy, więc musimy jedną odjąć. |B| = 1*6 + 6*1 − 1= 11.

Antek: No o 55 zapomniałem a te 1 dało by się z symbolu newtona też ?

Trivial: Chodzi o zadanie pierwsze? Raczej symbol Newtona nie pomoże tutaj zbyt wiele. Jeśli nawet się da, będzie to prawdopodobnie dużo bardziej skomplikowane.

Eta: Ja dostaję palpitacji na te wasze "krzaki" |Ω|= 2*6=12 A= { (O, 2) (O,3) (O,5)} |A|= 3

	1
P(A)=
	4

B={(O,4) (O,5) (O,6) (R,4) (R,5) (R,6)} |B|= 6

	1
P(B)=
	2

C={(R,2) (R,4) (R,6)} |C|= 3

	1
P(C)=
	4