trójkąt. udowodnić.. ...: Niech a,b,c będą długościami boków w dowolnym trójkącie. Uzasadnij, że prawdziwa jest nierówność a²+b²+c²<2(ab+bc+ca) .. myślałem nad wartością bezwzględną.. ale i tak nie wiem jak to ugryźć

Vax: Zauważ, ze skoro a,b,c są długościami boków w trójkącie, to można podstawić dla pewnych rzeczywistych nieujemnych x,y,z tak: a = x+y , b = y+z , c = x+z wówczas nasza nierówność przyjmuje postać: (x+y)²+(y+z)²+(x+z)² < 2((x+y)(y+z)+(y+z)(x+z)+(x+y)(x+z)) Czyli 2x²+2y²+2z²+2xy+2xz+2yz < 2x²+2y²+2z²+6xy+6xz+6yz 4xy+4xz+4yz > 0 Co niewątpliwie jest prawdą. Pozdrawiam.

;P: −a²−b²−c²<2(ab+ac+bc) to jest prawdziwe to u góry jest nie prawdziwe

Vax: Mógłbyś mi wskazać błąd, a nie bezsensownie pisać, nie sprawdzając, czy to ma jakikolwiek sens? Mój pierwszy post przedstawia kompletny dowód na zadaną w temacie nierówność. Pozdrawiam.

..: Na podstawie jakiego twierdzenia zapisałeś, że boki to a=x+y itd.. ?

Vax: Jest to znane podstawienie dla nierówności w których nasze nierówności są długościami boków trójkąta, zauważ, że z danych odcinków a,b,c można zbudować trójkąt, wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają one nierówność trójkąta: a+b>c , a+c>b , b+c>a Sprawdzając nasze podstawienie otrzymujemy: x+y+y+z > x+z => 2y > 0 Co jest prawdą, analogicznie pokazujemy, że nasze podstawienie spełnia pozostałe nierówności trójkąta. To podstawienie bardzo często pomaga w dowodzeniu nierówności, gdzie niewiadome spełniają nierówność trójkąta.