Wartości bezwzględne w wykresach funkcji liniowej. Sophie: Określ liczbę rozwiązań równania f(x)=k w zależności od parametru k, gdy f(x)=||x-2|-2|-2 Proszę tylko o dokładne słowne wytłumaczenie, jeśli ktoś ma cierpliwość, bo nie było mnie na tej lekcji i nie mam bladego pojęcia co i jak. Chciałabym wiedzieć co mam robić po kolei, bo kolejnym punktem do tego zadania jest narysowanie wykresu... Z góry dziękuję!

Eta: Witam Sophie! Jesteś? .... to popracujemy razem ? napisz!

Sophie: jestem, czekam na wskazówki

Eta: Ok! narysuj prostą y = x-2 potrafisz napewno!

Eta: teraz tę część tej prostej ,którajest pod osią OX odbij nad oś OX (bo wyrażenie x-2 jest pod modułem!)

Sophie: ok, mam

Eta: Odbiłaś już też? ... czyli masz wykres takie V Tak? teraz ponieważ za pierwszym modułem jest - 2 to obniżamy ten wykres o dwie jednostki w dół! narysuj go! ( zaznacz punkty przeciecia z osią OX( widać je !

Sophie: pytanko: moduł, czyli

Eta: bezwzględna wartość

Sophie: aha nie używano przy mnie takiego określenia, ale w każdym razie dobrze zrozumiałam mam pinkty przecięcia z osią OX: 0 i 2 czy tak powinno być?

Eta: świetnie! tak! Zaraz napiszę dalej

Sophie: ok

Eta: A jednak nie! 0 i 4

Eta: Chodziło mi już o tą po przesunięciu w dół o dwie jednostki!

Sophie: moim zdaniem musi być 2 bo jeśli x= 2 to |x-2|=|2-2|=|0|=0 czyli miejsce zerowe czyli miejsce przecięcia z osią OX

Sophie: aha, wtedy rzeczywiście 4

Eta: Ale ja cały czas mówię o tym drugim wykresie! pierwszy ma miejsce zerowe tylko x= 2 a jak go obniżysz o dwie jednostki w dół to masz miejsca zerowe 0 i 4

Sophie: mam pytanie, może głupie, ale ważne dla mnie Mianowicie gdy rysuję prostą przesuniętą o 2 jednostki (jeszcze nie odbitą) powinna ona mi się kończyć w punkcie (2; -2) i dopiero z tego punktu odbić prawda? Teraz pytanie powalające. Dlaczego powinnam odbić z tego punktu właśnie?

Eta: Tak? zgadza się teraz? następnie ten drugi wykres ma część pod osią OX? czyli znów odbijamy tę część z pod osi OX nad oś OX otrzymasz takie W ( to bedzie trzeci wykres!

Eta: odbijasz od osi Ox czyli od punktu (2,0 ) to co z lewej str. pod osią ,nad oś czyli takie fau V zaczepione na osi ox w punkcie (2,0)

Eta: Odbijamy dlatego bo mamy moduł(czyli wart. bezwzgl. a ona nie moze mieć wartości ujemnych!

Sophie: czyli odbijam ten "trójkąt" pod osią OX nad tę oś. Rzeczywiście, wychodzi coś na kształt litery W.

Eta: Tak! teraz za modułem mamy znowu - 2 czyli ten wykres W znowu przesuwamy o dwie jednostki w dół i tyle! Juz go nie odbijamy ! bo to koniec zad>

Eta: wypisz teraz miejsca zerowe: powinnaś mieć punkty przecięcia z osią OX-2,0) (2,0) (6,0) a z osią OY (0,-2) tak masz? napisz mi?

Eta: Oj "głupek" wyskoczył ( -2,0)

Sophie: dobrze, uporałam sie z wykresem, za co jestem b. wdzięczna. A teraz pytanie mam: jak określić liczbę rozwiązań? Odczytać za pewne z wykresu, ale konkretnie?

Eta: Teraz popatrz na oś OY i nazwij ją "K" widzisz,że poniżej k= -2 nie ma wykresu ... tak? czyli odp: dla k= -2 równanie nie ma rozwiązań zaraz dalej przeanalizujemy!

Sophie: zgadza się, takie mam miejsca zerowe

Eta: Widzisz że na wysokości k= -2 są dwa punkty wykresu! gdzie jeszcze ? nad osią oX bo tam mamy dwie gałązki (ramiona) czyli odp: równanie ma dwa rozwiązania gdy k= -2 lub k> 0 napiszemy to ładniej gdy k€ ( 0 ,∞) U{ -2}

Eta: i jeszcze widzisz że wykres przecina się trzy razy z osią ox tzn ,że dla k=0 --- są trzy rozwiazania i jeszcze są cztery gdy k€(-2, 0) i to wszystko!

Sophie: no więc tak: rozumiem, dlaczego 0 rozwiązań dla k(-∞;-2) bo się kończy wykres wiem, dlaczego 3 rozwiązania dla k=0 bo 3 razy przecina się z OX ale nie umiem złapać, dlaczego 3 i 4 rozwiązania

Eta: Trudno mi Ci to wyjaśnić! ale może tak! gdybyś prowadziła proste równoległe do osi ox to przecinały by sie one z Twoim wykresem ani razu --- gdy poniżej k= -2 ---- czyli brak rozw. dwa razy --- gdy k= -2 i powyżej osi ox czyli dla k€(0,∞) więc tu dwa rozw. trzy razy gdy na samej osi oX ----- czyli tam k=0 czyli trzyrozwiązania i cztery razy jak między - 2 i 0 czyli k€(-2,0,) ---- cztery rozwiazania ! nie obchodzi nas jakie to rozwiazania tylko ile ich jest w zależności od parametru "k" rozumiesz coś z tego?

Sophie: miało być 2 i 4 rozwiązania

Eta: cztery dlatego bo tam masz aż cztery gałazki! ( kumasz już?)

Eta: dwa tylko dla k= -2 i k>0 bo dla k= - 2 masz dwa "czubki" -- wykresu a dla k>0 ---- dwie gałązki wykresu

Sophie: zrozumiałam oprócz 2 rozwiązań, wiem, że dla k= -2 są dwa, to jest ewidentne, ale dla k(0,∞)?

Sophie: rozumiem, ze 2 gałązki, ale bądź co bądź, prostych (wykresów) ma trzy, więc nie wiem za bardzo czym się kierować

Sophie: zrozumiałam! -kwestia spojrzenia na rysunek. dziękuję bardzo! moja matematyczka by lepiej tego nie wytłumaczyła!

Eta: Pisałam Ci : poprowadź kilka prostych równoległych do osi oX powyżej k=0 to zobaczysz,że kazda z takich prostych przecina sie z tym wykresem ile razy?.... no tylko dwa razy! .... czyli dwa rozwiazania własnie tak ,gdzie k>0 i k= -2 a teraz poprowadź takie proste między k= -2 i k=0 to ile razy przetna nasz wykres? .... no cztery razy! czyli cztery rozw. gdy k€(- 2, 0) teraz juz napewno wiesz o co chodzi! ....

Sophie: Dziękuję bardzo!

Eta: Patrzysz na ostatni! ja uczyłam : pogrubić ten ostatni! lub kolorem go narysować! Tak?

Sophie: tak, na ostatni

Eta: Zrozumiałaś to zad?