szeregi studentka: kryterium Abela:Niech dany będzie szereg ∑a_n*b_n ... Jeżeli 1) lim a_n 1/n=0, 2) Ciąg sum cząstkowych jest ograniczony to ∑ a_n*b_n zbieżny W oparciu o powyższe kryterium udowodnij zbieżność warunkową: a) ∑ (−1)^n(n+1)/2 (²√n+1−²√n)

Basia: kryterium Abela jest nieco inne: Jeżeli ∑a_n jest zbieżny i ciąg {b_n} jest monotoniczny i ograniczony to ∑a_n*b_n jest zbieżny to co cytujesz (niedokładnie) to kryterium Dirichleta: Jeżeli ciąg a_n jest monotoniczny i zbieżny do 0, a ciąg sum częściowych szeregu b_n jest ograniczony to ∑a_n*b_n jest zbieżny i to kryterium można tu zastosować, natomiast nie da się zastosować kryterium Abela

studentka: No nic... Widocznie źle zanotowałam... Co to jest ten ciąg sum częściowych

Basia: S₁ = b₁ S₂=b₁+b₂ .............................. S_n = b₁+b₂+....+b_n {S_n} to ciąg sum częściowych tu trzeba przyjąć

	(√n+1−√n)(√n+1+√n)
an = √n+1−√n =		=
	√n+1+√n

n+1−n		1
	=
√n+1+√n		√n+1+√n

dość łatwo pokazać, że to jest ciąg malejący zbieżny do 0 b_n = (−1)^n(n+1)₂

n(n+1)
	jest parzysty ⇔ n lub n+1 są podzielne przez 4
2

stąd b₁= −1 b₂= −1 b₃ = 1 b₄ = 1 b₅ = −1 b₆ = −1 b₇= 1 b₈ = 1 itd. S₁ = −1 S₂ = −2 S₃ = −1 S₄ = 0 S₅ = −1 S₆ = −2 S₇ = −1 S₈ = 0 itd. ogólnie S_4k−1= −1 S_4k−2= −2 S_4k−3 = −1 S_4k=0 czyli jest to ciąg ograniczony z dołu przez −2, z góry przez 0 na mocy kryterium Dirichleta szereg jest zbieżny a warunkowo dlatego, że ∑|(−1)ⁿ⁽ⁿ⁺¹₂(√n+1−√n)| = ∑(√n+1−√n) =

	1
∑		> (bo √n+1+√n < √n+1+√n+1=2√n+1
	√n+1+√n

	1
∑		> (bo √n+1<√2n = √2√n
	2√n+1

∑U{1}{2√2√n a to jest szereg harmoniczny stopnia α=¹₂ czyli rozbieżny

Basia: na końcu ma być

	1		1		1
∑		=		∑
	2√2√n		2√2		√n