:) M4ciek: 1.Liczby pierwsze p i q(p ≠ q) sa pierwiastkami wielomianu W(x) = 2x³ + bx² + cx − 10.,gdzie b,c sa liczbami calkowitymi.Zapisz wielomian W(x) jako iloczyn trzech wielomianow stopnia pierwszego. Zrobilem tak : p={−1,1,−2,2,−5,5,−10,10} q={−1,1,−2,2}

p		1		1		5		5
	= {1,−1,		,−		,2,−2,5,−5,		,−		,−10,10}
q		2		2		2		2

Liczby pierwsze z podanych to 2 oraz 5. Chce wyznaczyc b oraz c. W(2) = 0 W(5) = 0 Podstawiam i mi sie skraca b czy jak ktos woli c. Wychodzi mi : c = −2b − 3 0 = 48 + 2b + c 0 = 48 − 3 0 = 45 ... Czy moglby ktos to sprawdzic bo moze mam blad, ale go nie widze 2. Dany jest wielomian W(x) = 2x³ + x + 1 a) Udowodnij,ze wielomian W(x) nie ma dodatnich pierwiastkow b) Udowodnij,ze wielomian W(x) nie ma pierwiastkow wymiernych. c) Twierdzenie. Kazdy niezerowy wielomian mozna przedstawic w postaci iloczynu wielomianow stopnia co najwyzej drugiego.Korzystajac z podanego twierdzenia uzasadnij,ze wielomian W(x) ma co najmniej jeden pierwiastek. Prosze o pomoc Narazie tyle.Przepraszam za brak polskich znakow

Godzio: W(2) = 16 + 4b + 2c − 10 = 0 ⇒ 4b + 2c = −6 ⇒ 2b + c = − 3 W(5) = 250 + 25b + 5c − 10 = 0 ⇒ 25b + 5c = − 240 ⇒ 5b + c = 48 2b + c = −3 5b + c = 48 − −−−−−−−−−−−−− −3b = −51 b = 17 ⇒ c = ...

Basia: W(x)=2x³ + bx² + cx − 10 W(2) = 2*2³+b*2²+c*2−10 = 16+4b+2c−10 = 4b+2c+6 4b+2c+6=0 2b+c+3=0 c = −2b − 3 W(5)= 2*5³+b*5²+c*5−10 = 250+25b+5c−10 = 25b+5c+240 25b+5c+240=0 /:5 5b+c+48=0 5b−2b−3+48=0 3b+45=0 3b=−45 b= − 15 c = −2*(−15)−3 = 30−3 c=27

M4ciek: Dzieki Godziu Juz widze gdzie jest blad. A co z tym drugim

Grześ: Juz widze, Godzio zgubiłeś minus w drugiej linijce na końcu

Godzio: Ano tak

M4ciek: Pomoze ktos w tym drugim

Godzio: Trochę takie nie na poziomie liceum a) Ale ja na Twoim miejscu uzasadniałbym to tak że dla każdej dodatniej wartości argumentu funkcja przyjmuje coraz większe wartości więc na pewno nie przetnie osi OX w dodatniej części

	1
b) To wiadomo, z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, pokazujesz że kandydaci: {±1±		}
	2

nie są pierwiastkami wielomianu c) Można ten wielomian rozłożyć na iloczyn wielomianu 2 stopnia i 1 stopnia, (trochę naciągane ale nic lepszego nie wymyślę )

M4ciek: Ale w kielbasie jest wiec nie wypada ominac Cos jeszcze poprobuje Godziu A cos takiego : Jednym z pierwiastkow wielomianu W(x) = px³ − 7x² − 28x + q,gdzie p i q sa liczbami pierwszymi,jest −2,5.Znajdz pozostale pierwiaski wielomianu W(x). Musze wyliczyc p i q z ukladu rownan. W(−2.5) = 0 − jedno rownanie .

	p		q		q		1		1
A drugie?Czy nie skorzystac z		= {		,−		,−q,q,		,−		,1,−1}
	q		p		p		p		p

Czy podstawiac i szukac pierwiastka

Jack: 2 a) Wiemy ze wielomian jest funkcją ciągła. Osiąga gdzieś−tam wartość dodatnią, i gdzieś−tam indziej wartość ujemną. Z własnosci Darboux wynika, że musi przyjmować wartość 0. 2 c) chodzi o udowodnienie w przypadku ogólnym... Probowaleś do tego jakoś podejść?

M4ciek: Jack ja nie mam pomyslu , ale Godziu moze z Toba podyskutuje

Jack: 2 c) osobno rozpatruję wielomian ze stopniem parzystym i nieparzystym. Łatwo pokazać że nieparzysty zawsze da się rozłozyć na (x−c)(xⁿ⁻¹+....), gdzie n− stopnień wielomianu. W pewnym momencie musimy otrzymać wielomian stopnia parzystego. Całość więc sprowadza się do pokazania że wielomiany stopnia parzystego dają się rozpisać jako iloczyny wielomianow stopnia co najwyzej drugiego.... (włąsnie doczytałem, że tego twierdzenie nie trzeba dowodzić ale go zastosowac! Przepraszam że zamieszanie )

M4ciek: A co z tym co napisalem powyzej

Jack: w 2 c) nie ma nawet co dowodzić... SKoro nasz wielomian ma stopień 3, a da się rozłozyć na wielomiany stopnia max 2, to jeden będzie miał ten (max) stopień 2, a drugi musi miec stopien 1 (bo w sumie mają dać stopień 3).\ (w zasadzie Godzio coś takiego już napisał)

Jack: z tym p/q ?

M4ciek: Tak z tym p/q.

Jack: W(x) = px³ − 7x² − 28x + q, skoro −2,5 jest pierwiastkiem, a p,q są liczbami pierwszymi i q/p zwraca nam możliwe pierwastki wymierne, to jedynie taką mamy opcję q=±5 p=±2 (każdy krotność q i p nie da już liczby pierwszej). Znaki musisz dograć wstawiając liczby i sprawdzająć kiedy wyrażęnie się wyzeruje.

M4ciek: Aaa czyli liczby pierwsze q i p tworza pierwiastek − 2.5.

q		5
	= −2.5 = −		⇒ q = 5 i p = 2
p		2

I musze sprawdzic czy q czy p jest ujemne

Jack: tak z tw. o pierwiastkach wymiernych w wielomianie o wyrazach całkowitych.

M4ciek: Dzieki Jack Pozdrawiam

Jack: ja również!

Basia: proponuję tak przypuśćmy, że W(x) = 2x³+x+1 ma pierwiastek dodatni a wtedy a>0 i 2a³+a+1=0 2a³+a=−1 a to jest niemożliwe, bo a³>0 (sześcian liczby dodatniej jest dodatni) 2a³>0 (iloczyn liczb dodatnich jest dodatni) 2a³+a > 0 (suma liczb dodatnich jest dodatnia) czyli przypuszczenie jest fałszywe ⇒ W(x) nie ma pierwiastków dodatnich

Basia: ad.c 2x³+x+1 = (ax²+bx+c)(dx+e) gdzie a,d≠0

	e
ax2+bx+c może nie mieć pierwiastków, ale dx+e musi i ma x0 =
	d

stąd wniosek, że W(x) ma przynajmniej jeden pierwiastek

Kasia: Basia: Mamy 2x³ + 0x² + x +1 = (ax² + bx +c)(dx +e) 2x³ + 0x² + x +1= adx³ (ae +bd)x² + (be + cd)x + ce wymnożyłam prawą stronę i otrzymałam układ równań jednak czy mnie to do czegoś doprowadzi? 2=ad (ae +bd)=0 (be + cd)=1 ce=1