Agnieszka: Przekształcenie P okreslone jest w nastepujacy sposob P((x,y)) = (y +2, x-1) gdzie x,y∈R a) Wykaż że przekształcenie P jest izometrią. b) W prostokątnym układzie wspolrzednych narysuj trojkat o wierzcholkach A(-1.2) B(2, -4) C=(1,5) a nastepnie znajdz jego wyraz w przeksztalceniu P. c) wyznacz rownanie prostej zawierajcej wysokosc trojkata ABC poprowadzona na bok AB. d) Oblicz pole trojkata A"B"C" ktory jest obrazem trojkata ABC w jednokladnosci o srodku w punkcie (0,0) i skali k=-5. Bogdan pokierujesz moją weną

Bogdan: Dzień dobry. Zapraszam do współpracy. Napisz, jakie przekształcenie płaszczyzny nazywamy izometrią.

Agnieszka: izometria- figura nie zmienia odleglosci miedzy punktami, rozmiaru i ksztaltow... izometria jest obrot, przesuniecie, symetria osiowa...

Bogdan: Dobrze. Wybieramy w figurze F dwa dowolne punkty A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂). Obrazem F w przekształceniu P jest F'. Wyznacz współrzędne obrazów punktów A i B w przeksztaceniu P, otrzymasz A'( ...., ..... ), B( ...., .....) pamiętając, że x' = y + 2 oraz y' = x - 1

Bogdan: Podam A', a Ty wyznacz B' A' = (y₁ + 2, x₁ - 1)

Agnieszka: jak dowolny to A= (0,2) B=(1,1) to A' =(4,-1) B'=(3,0) to o to chodzilo

Bogdan: Nie, jak dowolny, to nie używamy liczb, bo wtedy badany przypadek już nie jest dowolny. Używasz wyłącznie oznaczeń literowych. Napisalem Ci już, jak wygląda A', jeśli A = (x₁, y₁), przez analogię napisz B' ( .... , .... ), jeśli B = (x₂, y₂).

Agnieszka: B'=(y₂ +2, x₂ - 1 )

Bogdan: Dobrze. Wyznacz długość AB używając wyrażeń literowych i w ten sam sposób wyznacz długość A'B'. Jeśli obie długości są jednakowe, to przekształcenie jest izometrią (odległość dwóch dowolnych punktów figury F jest równa odległości obrazów tych punktów)

Agnieszka: wiec tak IABI = ((x₂ - x₁), (y₂ - y₁) IABI' = ((y₂ +2) - (y₁+2), (x₂-1) - (x₁-1)) IABI'= (y₂ - y₁), (x₂ - x₁)

Agnieszka: dobrze

Bogdan: Nie. Z Twojego zapisu domyślam się, że pomyliłaś długość odcinka AB z współrzędna wektora AB. Przypomninam więc: jeśli dane są punkty: K = (x_K, y_K) i L = (x_L, y_L), to długość KL: |KL|² = (x_L - x_K)² + (y_L - y_K)² i stąd *) |KL| = √|KL| i |KL| > 0 Zastosuj do wyznaczenia |AB| i|A'B'| wzór *), który jak sądzę znasz.

Agnieszka: chodzi o ten wzor AB = √(xB-xA)² + (yB-yA)²

Bogdan: Tak

Agnieszka: wiec IABI = x2² - 2x1x2 + x1²+ y2²-2y2y1+y1² tak samo jak AB' i co dalej a to dobrze

Bogdan: Liczymy wg tego wzoru: |AB| = ......... |A'B'| = .............. Czy wyszło |AB| = |A'B'| ?

Bogdan: Agnieszko, nie potrzeba rozwijać wzorami skróconego mnożenia

Bogdan: No cóż, chyba sam napiszę, a Ty porównaj ze swoim rozwiązaniem. |AB| = √x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁) |A'B'| = √( (y₂ + 2) - (y₁ + 2) )² + ( (x₂ - 1) - (x₁ - 1) )² = ... dokończ te obliczenia i porównaj wynik z |AB|

Agnieszka: bo ja swojego nie zwinelam pod pierwiastek tak wyszlo ! na okolo ale wyszlo i co dalej?

Bogdan: Jeśli dokończyłaś obliczanie |A'B'| likwidując wewnętrze nawiasy, to otrzymasz |A'B'| = |AB| co kończy dowód

Agnieszka: tak mam.

Agnieszka: Punkty wzgledem P (y+2, x-1) niewiem czy dobrze podstawilam? A=(-1,2) A'=(4,-2) B=(2,-4) B'= (-2,1) C=(1,5) C'=(3,4)

Bogdan: Odnośnie b) Masz podane wzory na x' i y': x' = y + 2, y' = x - 1. Oblicz więc wg tych wzorów A', B', C'. Odnośnie c) Napisz równanie prostej zawierającej punkty A i B, właściwie wystarczy obliczyć współczynnik kierunkowy tej prostej. Przypomnij sobie warunek prostopadłości prostych i na jego podstawie oblicz wartość współczynnika kierunkowego prostej zawierającej wysokość trójkąta opuszczona z C na AB. Masz więc współczynnik kierunkowy szukanej prostej i punkt C = (1, 5) należący do tej prostej. Z równaniem tej prostej już chyba sobie poradzisz. Odnośnie d) Przypominam, że jeśli znana jest skala podobieństwa elementów liniowych dwóch figur k, to stosunek pół tych figur jest równy k². Oblicz więc pole ΔABC i następnie pole A''B''C'' stosując powyższą zasadę. To tyle z mojej strony, na razie dziękuję i biorę się za inne zajęcia. Wpadnę tu wieczorem

Agnieszka: Z MOICH WYLICZEN WYNIKA b) A'=(4,-2) B'=(-2.1) C'=(7,0) c) a=1/2 b=4,5 y=1/2x+4,5 d) Pabc= 10,5 P'= 25*10,5= 262,5 dobrze? Pozdrawiam super mi sie pracowalo