geom na płaszczyźnie i ostosłup Efka: 1. Trapez równoramienny o przekątnej długości 5cm i obwodzie 16cm jest opisany na okręgu. Znajdż promień r okręgu wpisanego w ten trapez i promień R okręgu opisanego na nim. (tu mi wyszedł r=1,5cm tylko nie wiem czy dobrze... nie mam pojęcia jak z R postąpić...) 2. Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o długości krawędzi podstawy a jest równa (a³√2)/24. Wykaż że przekrój płaszczyzną, do której należy jedna z krawędzi bocznych i wysokość ostrosłupa jest trójkątem prostokątnym. będzie ktoś tak dobry i pomoże? Miłej niedzieli wszystkim

Bogdan: Witam. r = 3/2, a więc dobrze. Jeśli jesteś, to proszę o sygnał, obliczymy R razem "krok po kroku", dobrze?

Efka: teraz jestem. bardzo byłabym wdzięczna za pomoc. ooo r wyliczyłam dobrze ale się cieszę

Bogdan: Zadanie 1. Oznaczmy trapez ABCD. Rzut punktu C na AB oznaczmy E. Jaką ma długość |CE|, |BC| ? Podaj te długości

Efka: |CE|=3cm a |BC|=√7 ?

Bogdan: |CE| dobrze, |BC| źle. Jeśli |AB| = a, |CD| = b, są to podstawy trapezu równoramiennego, |BC| = |AD| = c, są to ramiona tego trapezu. Trapez ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu r = 3/2, a więc z warunku na okrąg wpisany w czworokąt mamy; a + b = 2c, stąd c = (a + b) / 2 Rozpatrzmy trójkąt AEC. Przekątna |AC| = 5, |CE| = 3. Wyraź długość AE przy pomocy a oraz b i następnie mając dane |AC| = 5, |CE| = 3 oblicz długość AE

Bogdan: Dla ułatwienia podam: |AB| = a, |CD| = b, |EB| = (a - b) / 2 (sama ustal, dlaczego?) |AE| = |AB| - |EB| = a - (a - b) / 2 = .............. Podaj wynik |AE|

Efka: aha! ja źle spojrzałam... |BC|= 4 cm, tak?

Efka: |AE|= 4

Bogdan: Widzimy, że |AE| = (a + b) / 2 = 4 = c Spójrz teraz na Δ prostokątny EBC, w którym przyprostokątna: |CE| = 2r = 3 oraz przeciw prostokątna c = 4. Wyznacz w tym trójkącie EBC sinB i podaj wynik

Bogdan: Jeśli okrąg o promieniu R jest opisany na trapezie ABCD, to jest jednocześnie opisany na każdym z trójkątów: ABC, ABD, BCD i CDA. Podaj wzór sinusów dla trójkąta ABC względem kąta B

oskar: 2√6

Bogdan: Oskar, co to jest 2√6 ? i pozwól mi skończyć zadanie z Efką, nie podawaj gotowych wyników, bo nie o nie chodzi, a chodzi o to, by Efka zrozumiała przebieg rozwiązania

Bogdan: Efko, wyznacz w trójkącie EBC sinB i podaj wynik, następnie weź wzór sinusów dla trójkąta ABC względem kąta B i oblicz R Jeśli coś nie jest jasne, to zapytaj

Efka: sinb=3/4 a tw. sinusów to 5/sinB, czyli 5*4/3=2R, czyli R jest równe 10/3 ?

Efka: wszystko jasne, tylko musiałam na chwilę odejść od komputera. Dziękuję ślicznie... nie wiem dlaczego, ale nie wpadłam na twierdzenie sinusów

Efka: dobre rozwiązanie? czy Oskara jest dobre?

Bogdan: Dobrze, gratuluję. Bierzemy się za drugie zadanie. Narysuj ostrosłup prawidłowy trójkątny, oznacz jego podstawę A, B, C, wierzchołek W. spodek wysokości ostrosłupa S. Prosta zawierająca punkty B i S przecina krawdź CA w punkcie D. Mamy zbadać trójkąt DBW, którego podstawą jest DB, wysokością jest WS. Po narysowaniu daj znać, że rysunek jest gotowy. Uwagi do sposobu rysowania - wygodnie jest odcinek zawierający punkty D, S, i B narysować poziomo, punkt A trochę na lewo i poniżej S, ale na prawo i poniżej D, a punkt C na przedłużeniu AD, przy czym odcinki AD i DC są równe. Jeśli masz już odcinek poziomy DB, to podziel go delikatnie na 3 części, odcinek DS ma długość 1/3 długości DB, odcinek SB ma długość 2/3 odcinka DB

Efka: gotowe, zgodnie z zaleceniami

Bogdan: Ok. No to jedziemy. Napisz wzór na objętość ostrosłupa pawidłowego trójkątnego o wysokość H i krawędzi podstawy a. U nas: |AB| = |BC| = |CA| = a |WS| = H. Dalej będziemy w obliczeniach używać oznaczeń: a, H

Zenek: V=1/3 * (√3a²)/4 * H

Efka: no właśnie V=1/3 * (√3a2)/4 * H

Bogdan: Czyli V = (1/12) a² √3 H = (2/24) a² √3 H U nas V = (1/24) a³ √2. Porównaj wzór na V i nasze V. Weź pod uwagę, że: |DS| = r = (1/6) a √3 to długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a. |SB| = R = (1/3) a √3 to długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równoboczny o boku a. |DB| = r + R = (1/2) a √3 to wysokość trójkąta równobocznego o boku a, który jest podstawą ostrosłupa. Widzisz w badanym przekroju DBW dwa "przyklejone" do siebie trójkąty prostokątne: DSW o przyprostokątnych r, H i przeciwprostokątnej WD (oznaczmy ją h, ponieważ jest wysokością ściany bocznej) i BSW o przyprostokątnych R, H i przeciwprostokątnej WB ( oznaczmy ją b, ponieważ jest krawędzią boczną ostrosłupa). Biorąc to wszystko pod uwagę spróbuj na razie samodzielnie wykazać, że kąt BWD jest prosty. W razie kłopotów wrócimy do rozmowy.

Efka: hmm... to z porównania wzorów wychodzi, że H=(a√6)/6 ? szczerze mówiąc, to nadal nie wiem jak się do tego zabrać. Właśnie nie potrafię wykazać, że jest prostokątny...

Bogdan: H dobrze wyznaczyłaś. Czekałem tak długo, bo pozostał ostatni krok do zrobienia i chciałem, abyś sama go wykonała Skorzystaj z własności: jeśli trójkąt DBW jest prostokątny, to biorąc nasze oznaczenia pod uwagę mamy następującą zależność H² = R * r gdzie: H to długość wysokości trójkąta prostokątnego opuszczonej z wierzchołka kąta prostego, R to długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, r to długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wstaw do tej zależności wyznaczone H = (1/6)a√6, R = (1/3)a√3, r = (1/6)a√3 i sprawdź, czy lewa strona jest równa prawej stronie

Efka: szczerze mówiąc - nie znałam tej zależności... dziękuję bardzo za pomoc i cierpliwość... strony są sobie równe...

Bogdan: Myślę, że znałaś i spróbuję to wykazać. Niech będzie dany trójkąt prostokątny ABC, w którym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego wyznacza na przeciwprostokątnej punkt D. |<BAC| = α, |ABC| = 90* - α, |<ACB| = 90*, ponadto |AD| = x, |DB| = y, |CD| = h, Z podobieństwa trójkątów ADC i DBC i ABC: |<DCB| = α oraz h / x = y / h stąd h² = x*y Można również wykorzystać pojęcie średniej geometrycznej: h jest średnią geometryczną x, y, względnie pojęcie ciągu geometrycznego: x, h, y lub y, h, x tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Marcin: a jak to małe r wyliczyć? Bo mi nie wychodzi 3/2