Pochodne Paweł: Obliczyć pochodną n−tego rzędu funkcji: a) y=e^−x_a b) y=ln x c) y=xⁿ d) y=√x Jeśli ktoś czuje się na siłach to proszę o pełne rozwiązania. Z góry dziękuję.

Trivial: a) y = e^−x/a = (e^1/a)^−x

	1
y' = −		(e1/a)−x
	a

	1
y'' =		(e1/a)−x
	a2

	(−1)n
y(n) =		*e−x/a
	an

Pozostałe na podobnej zasadzie: b) y = lnx

	(−1)n−1 * (n−1)!
y(n) =
	xn

c) y = xⁿ y⁽ⁿ⁾ = n!*x d) jeszcze nie wiem jak

Maciek: Dzięki Trivial !

Trivial: Ad d) y = √x

	1
y(n) = (√x)(n) = (x1/2)(n) = (		*x−1/2)(n−1) =
	2

	1		1		1		1		3
= [		*(−		)x−3/2](n−2) = [		*(−		)(−		)x−5/2](n−3) =
	2		2		2		2		2

	1		1		3		5
= [		*(−		)(−		)(−		)x−7/2](n−4) =
	2		2		2		2

	1		1*3*5*7
= [(−1)5−1*		*		x−9/2](n−5) =
	2		25−1

	1*3*5*7
= [(−1)5−1*		x−1/2(10−1)](n−5) =
	25

	(|2n−3|)!!
= (−1)n−1*		*x−1/2(2n−1) =
	2n

(Moduł jest po to, żeby wzór działał także, gdy n=1. Oznaczenie: n!! − silnia podwójna n)

	(−1)n−1*(|2n−3|)!!		1
=		*		=
	2n		(√x)2n−1

	(−1)n−1*(|2n−3|)!!		1
=		*		=
	2n		xn:√x

	(−1)n−1*(|2n−3|)!!		1
=		*		.
	2n		xn−1*√x

Być może da się jakoś pozbyć symbolu silni podwójnej, ale nie wiem jak.

@home: Dziękuję serdecznie jesteś wielki