Określ wzór ogólny ciągu. Major: a₁=5 a_n+1=4_an−5

Bogdan: Popraw zapis

Major: a₁=5 a_n+1=4a_n−5

Bogdan: Mamy ciąg podany rekurencyjnie. Zapisujemy kilka kolejnych wyrazów tego ciągu: a₁ = 5 a₂ = 4*5 − 5 = 5(4 − 1) = 15 a₃ = 4*(4*5 − 5) − 5 = 4*4*5 − 4*5 − 5 = 5*4² − 5*4¹ − 5 = 5(4² − 4¹ − 1) = 55 a₄ = 4*(4*4*5 − 4*5 − 5) − 5 = 4*4*4*5 − 4*4*5 − 4*5 − 5 = 5*4³ − 5*4² − 5*4¹ − 5 = 5(4³ − 4² − 4¹ − 1) = 215 Dostrzegamy pewną prawidłowość, która pozwala na wysunięcie przypuszczenia: a_n = 5(4ⁿ⁻¹ − (1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4ⁿ⁻²)) Wyrażenie 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4ⁿ⁻² jest sumą n−1 wyrazów ciągu geometrycznego.

	4n−1 − 1		4n−1 − 1
1 + 4 + 42 + 43 + ... + 4n−2 = 1*		=
	4 − 1		3

	4n−1 − 1		3*4n−1 − 4n−1 + 1
an = 5(4n−1 −		) = 5 *		=
	3		3

	5
=		* (2*4n−1 + 1)
	3

	5
an =		* (2*4n−1 + 1)
	3

	5
a1 =		* (2*40 + 1) = 5
	3

	5
a2 =		* (2*41 + 1) = 15
	3

	5
a3 =		* (2*42 + 1) = 55
	3

	5
a4 =		* (2*43 + 1) = 215 itd.
	3

	5
Odp.: an =		* (2*4n−1 + 1)
	3