monia: Rozwiąż równanie: tg²(x+y)+ctg²(x+y)=1-2x-x²

Bogdan: Przekształć najpierw wyrażenie: tg²α + ctg²α tak, aby można było z otrzymanego wyrażenia odczytać zbiór warości funkcji f(α) = tg²α + ctg²α

Bogdan: Podaj otrzymany zbiór wartości funkcji f(α), w przypadku trudności, pytaj.

Eta: Witam! policzyłam i mi wyszło ,że x= -1 bo lewa strona po odpowiednich przekształceniach = 2 czyli pozostaje tylko rozwiazać równanie 2= 1 - 2x - x² pisać lewą stronę ?

Bogdan: Tak, dobrze. Wystarczy wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli. Pisz Eto

Eta: Nie czekam na Was piszę: przekształcamy lewą str.korzystając z (a+b)²= a² +2ab +b² oraz że tgα*ctgα=1 sin2α= 2sinα*cosα sin(α+β) tgα + ctgβ= --------------- cosα*sinβ L= tg²(x+y) + ctg²(x+y) = [ tg(x +y) + ctg(x+y)]² - 2 *tg(x+y)*ctg(x+y)= [ sin(x+y+x+y)]² = ------------------------ - 2*1 [ cos(x+y) *sin(x+y)]² [sin2(x+y)]² = --------------------------- - 2 = 4 - 2 = 2 [ (1/2) *sin2(x+y)]² przy założ ,że sin(x+y)≠0 i cos(x+y) ≠0 pozostaje więc równaie 2= 1 -2x -x² <=> x² +2x +1=0 <=> ( x+1)² =0 <=> x = -1 Bogdan sprawdź ,czy tak?

Eta: Można i z wierzchołka paraboli też! .... ale policzyłam tak! ( jakoś tak mi wpadło..

Bogdan: Ok. x = -1, y = 2

Eta: No tak , jeszcze y=2 zapomniałam dopisać !

Bogdan:

monia: y=2 na pewno

ola: tg²(-1+2)+ctg²(-1+2)=2

monia: Bogdan x=-1 zgadza się, ale y =2 nie

Bogdan: Dzień dobry. Masz rację moniu. Trzeba jednak przyjąć, że x jest odciętą punktu, ale y nie jest rzędną tego punktu. Przyjmijmy prostokątny układ współrzędnych z osiami: x - oś odciętych, z - oś rzędnych Weźmy krzywe: z = tg²(x+y)+ctg²(x+y) i z =1-2x-x², y jest tu parametrem, (zapis y = tg²(x+y)+ctg²(x+y) prowadzi do nieporozumień). Szukamy punktów wspólnych tych krzywych. Wyznaczmy zbiory wartości ZW analizowanych funkcji: 1) z =1-2x-x², W = (-1, 2), ZW: z € (-∞, 2> 2) z = tg²(x+y)+ctg²(x+y), ZW: z € <2, +∞) Widzimy, że jedynym punktem wspólnym krzywych jest punkt (-1, 2) i stąd wzięło się błędne przekonanie, że x = -1, a y = 2. Znamy x = -1 oraz z = 2, nie znamy jeszcze y. Rozwiązujemy równanie tg²(-1+y)+ctg²(-1+y) = 2 przy założeniu y ≠ 1 + k*(π/2) i k € C. Nie wdając się w szczegóły rozwiązania tego równania podaję odpowiedź y = 1 + π/4 lub y = 1 - π/4 Ostatecznie rozwiązaniem równania: tg²(x+y) + ctg²(x+y) = 1 - 2x - x² są liczby: x = -1 i y = 1 + π/4 lub x = -1 i y = 1 - π/4 Sprawdzenie dla z = 1-2x-x²: 2 = 1 - 2*(-1) - (-1)², L = P Sprawdzenie dla z = tg²(x+y) + ctg²(x+y): 2 = tg²(-1+1 + π/4) + ctg²(-1 + 1 + π/4) 2 = tg²(π/4) + ctg²(π/4) 2 = 1 + 1 L = P oraz 2 = tg²(-1+1 - π/4) + ctg²(-1 + 1 - π/4) 2 = tg²(-π/4) + ctg²(-π/4) 2 = (-1)² + (-1)² L = P Moniu, czy ta odpowiedź satysfakcjonuje Ciebie? Gratuluję dociekliwości i pozdrawiam Ciebie i wszystkich na forum

Bogdan: Dodam, że równanie tg²(x+y) + ctg²(x+y) = 1 - 2x - x² pojawiło się w arkuszu maturalnym w kilku województwach podczas matury 6 maja 1998 r. Warto więc przeglądać stare arkusze maturalne.

monia: Serdecznie dziękuję Eto i Bogdanie. A tak, poza tym ciekawa jestem, ilu maturzystów wtedy to zadanie próbowało rozwiązać.

rafalwaclaw: Witam,

	4
w rozwiązaniu Ety jest błąd, mianowicie lewa strona nie równa się 2, lecz		−2.
	sin2(2x)

	cos(x−y)
Błąd tkwi w wyrażeniu tg(x) + ctg(x) =		(wersja poprawna).
	cos(x)sin(y)

Wyszło dobrze, ponieważ zbiór wartości lewej strony równania to <2 ; +∞>. Pozdrawiam