granica granica:

	x2 − 4
lim x→2
	x3 − 8

Godzio:

x2 − 4		(x − 2)(x + 2)		x + 2
	=		=
x3 − 8		(x − 2)(x2 + 2x + 4)		x2 + 2x + 4

tomq: x=2 mamy wyrażenie nieoznaczone

	(x−2)(x+2)		(x+2)		4		4
więc liczymy		=		=		=		=1/7..
	(x−2)(x2+2x+4)		x2+2x+4		16+8+4		28

ale nie mam pewności

Godzio: x² + 2x + 4 dla x = 2 ⇒ 4 + 4 + 4 = 3 * 4 = 12

tomq: oj tak pomyślałem sobie o czwórce..

granica: dzięki Godzio wychodzi dobrze a jak policzyć

	tg 3x
lim x→0
	2x

Godzio: z hospitala ?

3   cos23x		3		3
	=		→
2		2cos23x		2

^{x → 0}

Grześ: rozpisz tg 3x, wyłącz cos 3x przed ułamek Potem rozszerz ułamek o 3/2

Grześ: albo mozna bez szpitala, ja napiszę

Grześ:

tg3x		sin3x   cos3x		1		sin3x		1		sin3x*3/2
	=		=		*		=		*		=
2x		2x		cos3x		2x		cos3x		3x

	1		sin3x*3/2		3		3
=lim x→0		*		=		=
	cos3x		3x		2*cos3x		2

granica: nie czaje tego, czy ktoś mógł by mi to wytłumaczyć jak dziecku. tu mam następny przykład i też nie wiem od czego się zabrać

	sin 4x
lim x→0
	sin 5x

granica: na coś wpadłem, tylko nie wiem czy dobrze:

	sin 4x		sin 4x		4x
lim x→0		= lim x→0		*		=
	sin 5x		4x		sin 5x   5x *   5x

	4x		sin 4x
sin *		=
	5x * sin		sin 5x

Grześ: prawie dobrze, tylko po co na końcu zostawiłes same sinusy One sie upraszczają i zostaje Ci

	4x
samo
	5x

granica: w odpowiedziach jest tylko 4/5 bez x

Grześ:

	4x
a czy ja podałem odpowiedź Jak myślisz, co możesz zrobić jeszcze z
	5x

granica: x→0,

granica : nie mam pojęcia

Godzio: Rozpisałeś to wszystko dobrze, i teraz pytanie:

sin4x
	→ ?
4x

sin5x
	→ ?
5x

4x		4		4
	=		→
5x		5		5

Trivial: Tak w ogóle, to jest również twierdzenie mówiące o tym, że dla f(x)→0, tg[f(x)]/f(x)→1.

granica :

	sinx
przed chwilą znalazłem lim x→0		= 1
	x

	tg 3x
a z tym przykładem wyżej lim x→0		to nie całkiem rozumie tg można zamienić na
	2x

sin/cos a jak było by ctg, sin albo cos

Grześ: skorzystaj z powyższego zapisu Traviala. Po prostu rozszerz ułamek przez 3/2 Powinneś dać radę

granica :

	sin 4x		sin 4x   4 *   4x
lim x→0		= lim x→0		=
	sin 5x		sin 5x   5 *   5x

	4
	5

i teraz jest ok

granica: to z tg zostawiam na razie proszę o spr

	x4 − 3x2
lim x→0		=
	x5 − x3 − 2x2

	x2 (x2 − 3)
lim x→0		=
	x2 (x3 − x − 2)

	1 (3)
lim x→0		= 32
	1 ( 2)

Godzio: ok

granica: potrzebuje jeszcze waszej pomocy

	x
1) lim x→0
	1 − √x+1

2) lim x→∞ √x² + 1 − x

	sin(x + h)−sin x
3) lim h→0
	h

	√x+h − √x
4) lim h→0
	h

	(x+h)2 − x2
5) lim h→0
	h

	cos (x+h) − cos x
6) lim h→0
	h

	(x+h)3 − x3
7) lim h→0
	h

Grześ: ja teraz jestem. Wszystkich granic nikt nie będzie robił, ale na dwie pierwsze moge pomóć jak narazie. Jesteś może

Grześ: 1) Tą granice możesz zrobic na dwa sposoby. Albo skorzystac z twierdzenia de'Hospital albo rozszerzając ułamek przez (1+√x+1)

Grześ: 2) W tej granicy skorzystaj ze wzoru:

	a2−b2
a−b=
	a+b

gdzie u ciebie: a=√x²+1 b=x

Grześ: 3) Równiez skorzystać z twierdzenia de'Hospital lub możnaby coś spróbować z rozpisaniem sin(x+h), ale nie wiem czy to cos pomoże

Grześ: 4) Albo twierdzenie Hosptiala, albo rozszerzasz o sprzężenie z licznikiem, czyli rozszerzasz o (√x+h+√x)

Grześ: 5) Tutaj korzystasz jak wolisz, albo de'Hospital lub korzystasz ze wzoru: a²−b²=(a−b)(a+b)

Grześ: 6) analogiczne do 3) czyli albo Hospitall albo próbujesz rozpisywać cos(x+h)

Grześ: 7) albo Hospitall albo korzystasz ze wzoru: a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) Dałem Ci zupełną dowolnośc. Masz wskazówki co należy zrobić. Musisz sam spróbować te granice. Albo uczysz się obliczania pochodnych i korzystasz z Hospitala, albo robisz alternatywną drogą jaka próbowałem wskazać. Tak więc good luck

Godzio: 3. Zaproponuję tak:

	2x + h		h
sin(x + h) − sinx = 2cos		*sin
	2		2

2x + h   h   2cos *sin   2   2		2x+h   h   cos * sin   2   2
	=
h		h   2

	2x+h
cos		przy h → 0 = cosx
	2

h   sin   2
	→ 1
h   2

czyli całość dąży do cosx

Grześ: Właśnie Godzio nie byłem pewien. Bo są właśnie jeszcze te wzory na różnicę sinusów, a nie mogłem sobie ich przypomnieć

Godzio: podobnie można w 6.

	α+β		α−β
potrzebny wzór: cosα − cosβ = −2sin		sin
	2		2

Grześ: tych dwóch wzorów właśnie tu na forum nie ma. Nie widziałęm je. Spisać sobie musze, bo się przydawają

Godzio: wpisz w googlach: różnica sinusów, na pierwszej stronie zdaje się są wszystkie i cos i tg i ctg

granica: wielkie dzięki, a szczególnie Tobie Grześ; podpowiedzi mam to teraz do roboty